高中數學矩陣在解線性方程組中的應用

霍健強

摘 要：在現代線性代數學科中求解線性方程組的問題是其中最重要的核心內容，而在研究求解的過程當中，我們發現很多涉及行列式、矩陣、逆矩陣、初等變換等方面的問題，為了闡述它們對線性方程組求解所起到的作用，我們根據線性方程組的基本概念，系數、常數等所構成的行列式矩陣，并以逐步深入遞進的方式探討它們之間的聯系，最終達到理順它們之間關系的目的，從而對線性代數的學習起到重要指導作用。通過該論文的研究可以使我們對矩陣及其在解線性方程組中的應用有更深刻了解。通過矩陣來解線性方程組，使得純代數的數學問題與幾何學科進行聯系，交叉學科的研究使得問題的解題思路更加嚴謹，解題方法更加廣泛

關鍵詞：矩陣；線性方程；應用

一、線性方程組基本知識點

1.線性方程組概念

用數學分析實際問題是科學求證真理的必要手段，有兩種思路可以對一般線性方程組進行求解，即有經驗的方程組和特殊規律的方程組，利用最基本的理論或推論，用一些基本的概念轉化成基本的微積分問題來解決；還有就是利用線性方程組的系數和常數提煉出來，然后構成一矩陣方程，進而通過矩陣的定義及相關定理，按照一定的解題思路進行求解。

線性方程組，即指在一個方程組中，至少含有一個未知數，且均為一次未知數，例如下列方程組（1）即為一次線性方程組。

以上關于未知數的矩陣，常數的矩陣，還有系數的矩陣構成的方程組可表示為。

其中全部為零，即用，這就是所說的其次方程組；如果不全部為零，即，叫做非其次線性方程組。有一種特殊情況，即在系數的值固定的情況下，非齊次方程組的通解可看作是齊次方程組的解與非齊次方程組的通解，看成了兩者的和。

2.線性方程組的解法

線性方程組的求解，除了特殊的變換方法外，一般有兩種方法可用：

一是用克萊姆法則進行求解：其法則是建立在逆矩陣的基礎上使用的，此法則在用的時候有兩個必要條件需要注意：一是未知解的線性方程組的求解個數必須和方程組中方程個數必須是相同的，系數組成的矩陣必須不為零。只要這兩個條件都滿足，則一切矩陣方程都可以用克萊姆法則來求解。

克萊姆法則的求解過程如下：

以上是克拉姆法則的求解過程，看上去公式不是很多，但求解時的數據處理量較大，所以一般情況下不建議使用。

（三）矩陣的基本概念

1.矩陣的秩

矩陣的秩就是對于一個矩陣來說，至少有一個，且在時，該矩陣中所有的階子式全部為0，則該矩陣的秩為，若矩陣記為，則該矩陣的秩可以表示為。

2.線性方程組構成的矩陣

從矩陣線性方程組的結構上可看出，矩陣中數字是縱橫排列的組合，這一組縱橫排列的數據組合，可組成系數矩陣，及增廣矩陣。

以前述（1）為例，矩陣為系數矩陣，已經在（2）中給出，從而可以進一步的增廣矩陣。

3.線性方程組解的判斷條件

以上述（1）為基礎，該線性方程組的系數矩陣的秩，與增廣矩陣的秩是相同的。還可以利用兩者秩的關系，進一步討論關于解的問題。

時，解為無窮個；

時，方程組有唯一解。

有了以上的理論概念為基礎，可以選擇利用其增廣矩陣進行簡化求解，只要將未知量輸入后就可求得相關解。對于未知變量，如果有題干規定了變量的取值條件，那么可以根據規定的條件求出未知線性方程的解。

二、矩陣在線性方程中的應用

（一）矩陣的線性變換求解線性方程組的解

1.初等變換的方法及步驟

其解的主要目的是將矩陣的初等變換通過對行或者列的計算化解為階梯形矩陣的目的。

步驟如下：

（1）：列出增廣矩陣；（2）：對有解的方程組進入第三步；（3）：將矩陣進行簡化；（4）：特解求出；（5）：求通解。

解例如下：

解下列齊次方程組：

以上方程組為齊次方程組，未知數和方程個數較多，計算量較大，且易出錯，這樣初等變換就應運而生，這樣減小計算量，減少解題時間。解：系數矩陣如下，

初等變換得出階梯形矩陣如下所示：

其中為未知量。另，得到：

則原方程的通解為：

2.小結

利用矩陣求解線性方程通解的問題，不僅僅是運用常規的定理進行解的求定，同時也是運用現代分析數學的方法，將矩陣中秩的問題，矩陣方程的變形結合，應用到線性方程組中。

（二）矩陣的秩判斷線性方程的解

線性方程組有解時，若其系數矩陣等于未知數的個數，則方程組有唯一解，若秩小于，則方程組有無窮多解。

例：

判定下列方程組解的情況：

解：方程系數矩陣

簡化得： 矩陣秩，

原增廣矩陣化簡得：

所以原方程組：，即線性方程組無解。

（三）整數矩陣在線性方程組中的應用

線性方程組中整數解的求法很少有所提及，特別是在一些現行的初等數學教材里，本章節給出方程組有整數解的實例，可以進行簡單求證并作解析，相關定理如下：

整數集中，分別以和與進行表示，設，表示形式為，元素只取整數組成矩陣，稱之為整數矩陣，同時設，以表示為型整數矩陣，顯然，那么設 ，以表示的轉秩，表示時的秩。

定理：設，若，則，且 （1）

證明：已知，下面證明（1）式成立，A經初等變換為B，首先考察以下形式：

（i）；（ii）；（iii）

由行列式的性質可知，由（i）和（ii）等行列式的性質可知，的階子式可表示為。其中是的某一階子式，而（iii）推出或者，這其中為的k階子式為的某兩個階子式，因此：再由初等變換得出k=1，經定義則知（1）式成立。對于施加一次初等變換得到，證畢。

定理中適合 k=1，2，...，r，因而是由唯一確定的。

推論：每個整數可逆矩陣可表為若干整數矩陣的乘積。

（四）矩陣乘積與線性方程組

此方程的解相信大家一眼就能看出來，那線性方程組可轉化成為簡單形式。為了成功轉化，我們必須利用矩陣乘積的概念，如下：設是一個行列的矩陣，是一個行列矩陣，則矩陣與矩陣 的乘積是一個行列矩陣 。

其中

那么為了利用矩陣乘積的性質，我們將線性方程組中的常數項、系數項和變量項轉變成矩陣的形式進行展現：

根據矩陣的基本性質，可以將以上線性方程式進行轉變：。

簡單的形式已經有了，運用此種方法的有效好處是，如果中能夠表現出來，那么線性方程組中的解就能顯而易見的表現出來，不用列行列式然后進行一個個求解，這樣能節省解題時間。

參考文獻

[1]辛奎東.關于線性方程組新解法的探索[J].黑龍江科技信息，2012.

[2]隆昌菊.偽逆矩陣與線性方程組[J].重慶職業技術學院學報，2016.

（作者單位：廣東省廣州市增城區第一中學）