經(jīng)歷建模過程 感悟方程思想
——《列兩步計算方程解決實際問題》的思考與實踐

江蘇揚州市甘泉小學(xué) 錢 燕

案例背景：

方程作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，對豐富學(xué)生解決問題的策略，突破算術(shù)思維方法的某些局限性，提高解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著非常重要的意義,也為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)知識以及其他學(xué)科知識奠定了重要基礎(chǔ)。基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修訂后的蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊關(guān)于方程這一單元的知識有了較大幅度的增加：原五年級下冊只要求學(xué)生解一步計算的方程，并列一步計算的方程解決簡單的實際問題，稍復(fù)雜的兩、三步計算的方程及其應(yīng)用則安排在六年級上冊?，F(xiàn)在這些內(nèi)容經(jīng)過整合，集中安排在五年級下冊第一單元。

我區(qū)針對修訂后的教材變化較大的部分內(nèi)容，開展了區(qū)“幸福課堂”教學(xué)競賽活動，筆者有幸執(zhí)教了《列兩步計算方程解決實際問題》這節(jié)課，經(jīng)過一次次的試教、修改、失敗、再探索……筆者若有所悟，對這節(jié)課有了更多的思考和認(rèn)識。

我的思考：

1.教材為什么要整合

小學(xué)生對方程的認(rèn)識主要包括方程的含義、解簡易方程和列方程解決一些實際問題。實驗教材是分散安排的：第一次安排在五年級下冊，第二次安排在六年級上冊，修訂教材將這些內(nèi)容經(jīng)過整合集中安排，主要出于以下兩點考慮：一是由于上述一步計算的方程到兩、三步計算的方程，盡管形式上稍復(fù)雜一些，但解方程的原理和步驟并無明顯差異；二是因為絕大多數(shù)五年級學(xué)生對一步計算的實際問題都比較熟悉，讓學(xué)生在一個階段只學(xué)習(xí)用一步計算的方程解決實際問題，挑戰(zhàn)性略顯不足，不利于學(xué)生保持對方程內(nèi)容的好奇心以及探索方程解法的積極心態(tài)，也不利于學(xué)生充分感受方程思想的特點和價值。

2.如何建構(gòu)方程思想

方程刻畫的是現(xiàn)實世界中的等量關(guān)系。學(xué)生在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中習(xí)慣了用算術(shù)方法解決實際問題，而列方程解決實際問題則是學(xué)生思維方式的一次重要轉(zhuǎn)折。本節(jié)課的教學(xué)中，需要讓學(xué)生通過尋找數(shù)量之間的相等關(guān)系，并借助含有未知數(shù)的等式進(jìn)行表示，在經(jīng)歷抽象、建模的過程中感悟“方程”思想。這個過程實際上就是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，突出數(shù)學(xué)的本原，從而促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力的提高。

我的實踐：

帶著這樣的思考，我進(jìn)行了第一次試教，按照創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課—抓住關(guān)鍵句，分析數(shù)量關(guān)系—引導(dǎo)學(xué)生列方程—學(xué)習(xí)解方程—檢驗、回顧反思這幾個步驟來進(jìn)行教學(xué)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性沒有被激發(fā)，只是機(jī)械地模仿列方程，至于為什么要列方程？選擇哪個等量關(guān)系式列方程？列方程有什么好處？大部分學(xué)生一片茫然。但此時筆者心中的思路似乎更明晰了，覺得應(yīng)著重從“抓住關(guān)鍵句進(jìn)行數(shù)量關(guān)系分析，列出符合題意的方程”和“將方程方法與算術(shù)方法巧妙地進(jìn)行對比，明晰解題思路”兩方面入手?，F(xiàn)擷取幾個精彩片段與大家分享：

一、前移數(shù)量關(guān)系分析，提高學(xué)生的分析能力

用方程解決生活中的問題，關(guān)鍵在于讓學(xué)生能正確尋找問題中的數(shù)量關(guān)系，理解了數(shù)量關(guān)系，問題便迎刃而解。所謂“磨刀不誤砍柴工”，筆者將數(shù)量關(guān)系的分析前移至課始，始終把數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練作為教學(xué)的主線貫穿在教學(xué)過程中，并對教材進(jìn)行創(chuàng)造性的處理，從學(xué)生感興趣的比年齡和身高這一生活經(jīng)驗開始，由易到難，循序漸進(jìn)地夯實數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練，分三個層次進(jìn)行。

1.比年齡（倍數(shù)關(guān)系）

師談話：誰呀？（錢老師）認(rèn)識嗎？（周雨）我校的小歌星。

出示：錢老師的年齡正好是周雨的3倍。

提問：你能想到什么等量關(guān)系？

生：周雨的年齡×3=錢老師的年齡。

2.比身高（相差關(guān)系）

（師出示圖）提問：根據(jù)這幅圖，你能說出哪些等量關(guān)系式？

生1：周雨的身高+10厘米=老師的身高。

生2：老師的身高-周雨的身高=10厘米。

生3：老師的身高-10厘米=周雨的身高。

有了這個簡單的示意圖，學(xué)生很容易地說出了3個等量關(guān)系式，從圖上清楚地看出錢老師的身高比周雨高10厘米，也就是周雨的身高比錢老師矮10厘米。

3.比身高（稍復(fù)雜關(guān)系）

姚明的身高比周雨身高的2倍少74厘米。

（出示圖片：姚明、周雨）提問：他們倆身高的關(guān)系想知道嗎？出示：姚明的身高比周雨身高的2倍少74厘米。

師示范讀：挺復(fù)雜的，你們懂嗎？

談話：錢老師有點不懂，少74厘米，難道姚明比周雨還要矮呀？

生（反駁）：不是、不是，是比周雨身高的2倍矮，課件上文字放大變色：“周雨身高的2倍”。

提問：你關(guān)注到了姚明的身高是跟周雨身高的2倍比的。周雨身高的2倍在哪呢？

學(xué)生上臺指，并結(jié)合課件進(jìn)行動畫演示。

師：你的意思是說，一個周雨的身高再摞一個周雨的身高，2個周雨的身高少74厘米就是姚明的身高。（多媒體動畫演示）現(xiàn)在，你能找出等量關(guān)系嗎？

生1：周雨的身高×2-74厘米=姚明的身高。

生2：周雨的身高×2-姚明的身高=74厘米。

生3：周雨的身高×2=姚明的身高+74厘米。

這里的數(shù)量關(guān)系要比前面兩題復(fù)雜許多，但因為有了前面的鋪墊，此處只需明確姚明的身高是與“周雨身高的2倍”比的，然后再通過多媒體課件進(jìn)行形象直觀的動畫演示，學(xué)生真正理解了這句話的意思，就能很快地說出三個不同的等量關(guān)系式。

二、依據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程，自主探究方程的解法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》指出：“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！睌?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)最大限度地滿足每一個學(xué)生的需要，最大限度地開啟每一個學(xué)生的智慧潛能。本節(jié)課的重點應(yīng)是讓學(xué)生依據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出符合題意的方程。于是，我巧妙地將順向思維與逆向思維進(jìn)行初次對比。

提問：現(xiàn)在，你們最想知道誰的身高？

生1：我想知道周雨的身高。

生2：我想知道姚明的身高。

師：如果老師只想告訴你周雨的身高是150厘米，有辦法求出姚明的身高嗎？

生：150×2-74=226（厘米）。

師：如果反過來，知道姚明的身高，求周雨的身高，你們會嗎？（課件出示：完整的題目）

學(xué)生看到課件中的等量關(guān)系式，異口同聲地說出：可以列方程解決。（板貼課題：列方程解決實際問題）

接下來，讓學(xué)生自主列出方程，自主探索出解方程的方法，并學(xué)會檢驗。最后，再幫助學(xué)生總結(jié)出列方程解決兩步實際問題的一般步驟：抓住關(guān)鍵句，找最容易想到的等量關(guān)系式、然后列方程、接著解方程、最后檢驗。

提問：哪一步最關(guān)鍵？

生齊答：根據(jù)關(guān)鍵句找最容易想到的等量關(guān)系式這一步是最關(guān)鍵的。

有了前面的鋪墊，學(xué)生解決這道例題時就會得心應(yīng)手，回想起自己一開始試教時，將題目整體呈現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生真有斗大饅頭無從下口之感，也讓學(xué)生的自信心倍受打擊，學(xué)習(xí)效果當(dāng)然就差。因此教師在教學(xué)過程中，要關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識自我，建立信心。良好的數(shù)學(xué)情感與態(tài)度是學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的重要動力，是克服困難和探索創(chuàng)新的力量源泉。

三、巧妙對比明晰思路，提升學(xué)生的思維能力

教育的目的之一就是引發(fā)學(xué)生思維的碰撞，并且引導(dǎo)學(xué)生深入思考，開拓思維。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是《列方程解決兩步實際問題》，為了克服學(xué)生的思維定式，也為了讓學(xué)生真正理解什么時候該用方程解，什么時候用算術(shù)方法解，在鞏固練習(xí)階段我設(shè)計了一系列的闖關(guān)游戲，讓學(xué)生在一次次的挑戰(zhàn)中進(jìn)一步明晰解題思路，提升學(xué)生的思維能力。

學(xué)校體育室有若干排球和籃球，排球有18個，籃球的個數(shù)比排球的3倍少6個，籃球有多少個？

排球的個數(shù)×3-6=籃球的個數(shù)

解：設(shè)籃球有x個。

師出示上圖：這題還不簡單？今天學(xué)習(xí)的列方程解決實際問題，肯定用方程解，同桌互看一下（點擊答案），和我不一樣的起立，全班5人算錯，這么簡單的題目，你們還錯??？

站著的幾個同學(xué)有意見了，說這題的等量關(guān)系式是：排球的個數(shù)×3-6=籃球的個數(shù)（點擊出示等量關(guān)系）。現(xiàn)在排球的個數(shù)已經(jīng)知道了，直接列算式算就可以了。

師：這幾個同學(xué)真棒，他們能先找出等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系發(fā)現(xiàn)排球的個數(shù)已經(jīng)知道，直接用18×3-6就能算出籃球的個數(shù)，思路很清晰，坐著的同學(xué)聽懂了嗎？

數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)始終都應(yīng)該充滿挑戰(zhàn)性，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識本來就應(yīng)該是在不斷的探索中進(jìn)行的，在這個過程中，學(xué)生的思維方法是各不相同的，很多時候一節(jié)課就只學(xué)習(xí)一個知識點，有不少同學(xué)就會依葫蘆畫瓢，機(jī)械模仿做題。為了克服這種思維定式，讓學(xué)生跳一跳才能摘到桃子，筆者在課堂鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，多次采用“上當(dāng)教學(xué)法”，讓學(xué)生進(jìn)一步明晰思路：同樣的等量關(guān)系式，如果知道排球的個數(shù)，就直接列算式解答；如果排球的個數(shù)不知道，就需要用方程來解決。巧妙的對比，對學(xué)生的思維更有沖擊力，更有助于學(xué)生思維的提升。筻