絕知此路不虛探 又得曲線一共性*
——一道高考數學題的多角度探究與拓展

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(貴州師范大學，貴州 貴陽 550025)

1 試題呈現

高考試題凝聚了命題人的心血和時代的理念，每一道試題都經過命題者的反復考量與打磨.解析幾何中主要蘊含的數學思想是借助平面直角坐標系，用代數的方法來研究幾何問題，這就體現了解析幾何具有代數與幾何的雙重身份.圓錐曲線是解析幾何的重要部分，對于圓錐曲線問題的解決，教師應培養學生從代數和幾何兩大維度進行多方面探究和思考，從而達到培養學生數學核心素養的目的.“課堂教學要立足基礎，高于基礎，挖掘本質，探尋聯系，這也是素質教育的一種體現”[1]，本文以2018年全國數學高考卷Ⅰ理科試題第19題的第2)小題為例，探討解題策略，并進行推廣.

圖1

1)當l⊥x軸時，求直線AM的方程；

2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(2018年全國數學高考卷Ⅰ理科試題第19題)

分析這是一道經典的圓錐曲線試題，其特點體現在：橢圓與直線的結合、直線過橢圓的焦點、定點M、求證兩角相等，有著較強的幾何意味.要解決此問題，通常有3個視角：1)將幾何問題轉化為代數問題，用代數的方法解決此問題；2)從幾何的角度解決問題，用圖形的代數特點幫助達成幾何目標；3)兩者的折中，幾何與代數相互交融，互相補充，最終解決數學問題.

2 解題策略

2.1 代數視角

根據學生的已有認知結構，要說明兩條直線與x軸的夾角相等，從代數的角度就是要說明兩直線的斜率互為相反數，因此較容易想到如下證法：

證法1(將角度關系轉化為斜率關系)設直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，分情況討論：

由第1)小題可知，當直線l⊥x軸時，k1=-k2，即直線AM，BM的斜率互為相反數，傾斜角互補，故∠OMA=∠OMB.

當直線l與x軸不垂直時，設直線l:y=k(x-1)，點A(x1,y1)，點B(x2,y2)，聯立

得

(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,

從而

即直線AM，BM的斜率互為相反數，傾斜角互補，故∠OMA=∠OMB.

證法2(巧設直線方程，簡化計算)設直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，分情況討論：

當直線l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；當直線l與x軸不重合時，設直線l:my=x-1，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯立

得

(m2+2)y2+2my-1=0，

從而

即直線AM，BM的斜率互為相反數，傾斜角互補，故∠OMA=∠OMB.

評注以上兩種證法本質上是一樣的，都是通過聯立方程表示出點A，B坐標之間的關系,根據一元二次方程根與系數的關系，結合兩直線的斜率表達式，最終證明兩直線的斜率互為相反數，從而得出問題的證明.證法2相對于證法1是在數學運算上的改進，改變了直線l方程的設法，適當簡化了運算過程.

2.2 幾何、代數融合的視角

代數視角通過證明兩直線的斜率相等得出證明，方法直接，運算卻稍顯復雜.該視角下讓幾何與代數適度融合，將兩角相等轉化為兩角的正切值相等或點到直線的距離相等的問題，再用代數的方法計算線段的長度，在一定程度上降低了計算難度.

證法3(利用兩角正切值求證兩角相等)假設直線l的斜率存在，設其方程為y=k(x-1)，設A(x1,y1)，B(x2,y2).要證∠OMA=∠OMB，只需證明tan∠OMA=tan∠OMB即可.

由題意可知M(2,0)，從而

于是

即

(2-x1)y2=(x2-2)y1.

進而 (2-x1)y2-(x2-2)y1=

-2kx1x2+3k(x1+x2)-4k=0,

即

tan∠OMA=tan∠OMB,

故

∠OMA=∠OMB.

圖2

k(x1-1)x-(x1-2)y-2k(x1-1)=0，

k(x2-1)x-(x2-2)y-2k(x2-1)=0.

要使∠OMA=∠OMB，只需d1=d2,d1,d2是點F到MA,MB的距離，其中

假設d1=d2，即

兩邊平方,得

于是d1=d2，故∠OMA=∠OMB.

評注以上兩種方法直接從兩角相等的幾何意義入手，思路清晰，凸顯幾何和代數之間聯系的緊密性，使得數學運算得到了簡化.

2.3 幾何視角

要證明兩個角相等，可將要證相等的兩個角構造于兩個三角形中，通過證明兩個三角形相似，進而得到兩個角相等.

圖3

作橢圓的準線l:x=2，過點A作AD⊥l于點D，過點B作BE⊥l于點E.根據平行線分線段成比例，得

即

從而在Rt△ADM與Rt△BEM中，tan∠AMD=tan∠BME，即

∠AMD=∠BME，

故

∠OMA=∠OME.

評注以上方法思路清晰，步驟簡潔，幾乎沒有復雜的代數計算.究其原因:一方面是因為點M的特殊性——恰好為準線與x軸的交點，由此便可借助橢圓的第二定義；另一方面是借助幾何方法——平行線分線段成比例定理、相似三角形性質.由此再次驗證在解析幾何中，借助幾何方法，往往能夠簡化問題解決的運算過程.

3 推廣結論

綜上所述，本題第2)小題中所要證明的∠OMA=∠OMB，從5個角度入手均可證.由證法5可知，利用橢圓第二定義是證明∠OMA=∠OMB的關鍵，主要考查學生對于橢圓性質和定義的掌握以及應用.在高中階段橢圓、雙曲線、拋物線相關性質和定義構成了圓錐曲線的知識框架，根據相似三角形的性質，借助橢圓第二定義(即證法5)解決第2)小題得到啟示：

圖4

證明同證法5(略).

圖5

證明如圖5，過點A作AE⊥l于點E，過點B作BG⊥l于點G.根據平行線分線段成比例，得

從而在Rt△AEM與Rt△BGM中，tan∠AME=tan∠BMG，即

∠AME=∠BMG,

故

∠OMA=∠OMB.

圖6

證明如圖6，過點A作AE⊥l于點E，過點B作BG⊥l于點G.根據平行線分線段成比例，得

從而在Rt△AEM與Rt△BGM中,

tan∠AME=tan∠BMG,

即

∠AME=∠BMG，

故

∠FMA=∠FMB.

4 總結

波利亞對探索解題思路的過程建議分兩步：第一，努力在已知和未知之間找出直接的聯系；第二，如果找不出直接的聯系，就對原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進輔助問題[2].在解決問題時，必須對已經給出的有效條件進行分析，進而深入挖掘內含信息，內含信息的構建往往是解決問題的關鍵所在.

在本題中要使∠OMA=∠OMB得到證明，必須找出與兩個角相等相關的內含信息：斜率、正切值、橢圓第二定義、角平分線的性質等，從這幾個角度切入均可證∠OMA=∠OMB.通過5個角度的分析，從證法5中得到啟示：在雙曲線和拋物線中，如果滿足在橢圓中的條件，則也滿足求證的結論∠OMA=∠OMB.因此將該啟示拓展到雙曲線和拋物線中并證明，以期為學生和教師提供解決圓錐曲線的途徑和方法.