試題本是同根生 復(fù)習(xí)何需題海戰(zhàn)*
——2018年數(shù)學(xué)高考浙江卷同源題賞析

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(游埠中學(xué),浙江 蘭溪 321106)

浙江省從2004年開始自主命題至今已有15年，形成了鮮明的“浙派”命題風(fēng)格：低起點(diǎn)、寬入口、多層次、區(qū)分好.2018年是浙江省文理合卷的第二年，試題整體平穩(wěn)，考查內(nèi)容全面而深刻，重視基礎(chǔ)知識(shí)，追求數(shù)學(xué)本質(zhì)，試題簡(jiǎn)約但不簡(jiǎn)單.

筆者仔細(xì)研讀2018年浙江省數(shù)學(xué)高考真題，發(fā)現(xiàn)有許多試題與以前的真題似曾相識(shí)，或命題形式相同，或解法一致，或考查的數(shù)學(xué)本質(zhì)相同，故收集一部分題目撰寫本文，與同行一起交流.

題源1函數(shù)奇偶性.

例1函數(shù)y=2|x|sin 2x的圖像是

( )

A. B. C. D.

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第5題)

( )

A. B. C. D.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第5題)

評(píng)注這兩道試題在命題方式及考查內(nèi)容上高度一致，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)和圖像的掌握情況，屬于簡(jiǎn)單題.

題源2方差概念的理解.

例3設(shè)0

( )

A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大

C.D(ξ)先減小后增大

D.D(ξ)先增大后減小

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第7題)

分析當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，隨機(jī)變量ξ的取值從集中到分散再集中，因此D(ξ)先增大后減小，正確答案為D.

表2 隨機(jī)變量ξ的分布列

當(dāng)a增大時(shí)，

( )

A.E(ξ)增大，D(ξ)增大

B.E(ξ)減小，D(ξ)增大

C.E(ξ)增大，D(ξ)減小

D.E(ξ)減小，D(ξ)減小

(2016年12月浙江省數(shù)學(xué)高考統(tǒng)測(cè)卷第7題)

題源3最小角定理與最大角原理.

最小角定理平面的斜線與其射影所成的角(線面角)，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角.

最大角原理[1]二面角的一個(gè)半平面內(nèi)的直線與另一個(gè)半平面所成的角不大于二面角的平面角.

圖1

證明如圖1，P是平面α外一點(diǎn)，PO⊥α，O是垂足，直線l?α，點(diǎn)P與直線l所確定的平面為β，點(diǎn)B∈l，AO⊥l.

例5已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第8題)

分析抓住線面角最小，直接秒殺得到正確答案為D.

例6如圖2，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15 cm，AC=25 cm，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是______(仰角θ為直線AP與平面ABC所成的角).

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖2 圖3

評(píng)注這又是一道挖掘概念背后本質(zhì)的好題目.在一個(gè)題目中同時(shí)考查線線角、線面角、二面角，體現(xiàn)了命題組的別具匠心，更需要考生透過試題認(rèn)識(shí)其本質(zhì).

圖4

讓我們?cè)賮碇販?016年12月的浙江省數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)卷第9題：如圖4，已知三棱錐D-ABC，記二面角C-AB-D的平面角是θ， 直線DA與平面ABC所成的角是θ1，直線DA與BC所成的角是θ2，則

( )

A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ2

根據(jù)最大角原理，立即可得正確答案為A.

題源4“圓”來如此.

( )

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

分析因?yàn)閎2-4e·b+3=b2-4e·b+3e2=0，所以

(b-3e)·(b-e)=0.

圖5 圖6

例8已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

評(píng)注例7在例8的基礎(chǔ)上進(jìn)行了深化，考查了圓的直徑式方程的向量形式，充分發(fā)揮了向量的雙重身份(兼具代數(shù)性質(zhì)與幾何性質(zhì)).根據(jù)

|a+b|=|a-b|?a⊥b，

由(b-3e)·(b-e)=0進(jìn)一步可得

|b-2e|=1，

這就是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的向量形式.同樣地，由(a-c)·(b-c)=0可得

結(jié)合絕對(duì)值三角不等式，可知

從而

對(duì)于函數(shù)f(x)=ex，其在x=0處的泰勒展開式為

當(dāng)0

兩邊取對(duì)數(shù)，得

綜上可得

事實(shí)上，上述不等式可以加強(qiáng)為

利用導(dǎo)數(shù)可以證明，限于篇幅不再敘述,可參看文獻(xiàn)[2]．

例9已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1，則

( )

A.a1a3，a2

C.a1a4D.a1>a3，a2>a4

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

分析由題意得

a1+a2+a3+a4= ln(a1+a2+a3)≤

a1+a2+a3-1，

從而

a4≤-1.

又a1>1，得q<0.若q≤-1，則

a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0，

a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1，

此時(shí)

ln(a1+a2+a3)>0，

與題設(shè)矛盾,故-1

a1-a3=a1(1-q2)>0，

a2-a4=a1q(1-q2)<0.

正確答案為B.

例10已知數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*).證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，

1) 0

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

又xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤2xn+1，得

即

第3)小題的左半部分，同樣地,由xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤2xn+1,得

題源6韋達(dá)定理與運(yùn)算求解.

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第17題)

分析設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2).當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，x2=0，m=9.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓方程得

(1+4k2)x2+8kx+4-4m=0,

由題意

Δ=4mk2+m-1>0,

根據(jù)韋達(dá)定理得

x1=-2x2,

(3)

把式(3)代入式(1)，得

即

解得m=5，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖7

分析如圖7，過點(diǎn)F1作F1C∥F2B交橢圓于點(diǎn)C，則根據(jù)對(duì)稱性易知

y1=-5y2.

(4)

由韋達(dá)定理得

聯(lián)立式(4)～(6)解得y1=±1.故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,±1).

評(píng)注從上述解題過程看到，例11其實(shí)是例12的變式.從原先的定值問題演變?yōu)樽钪祮栴}，考查了解析幾何的核心方法——坐標(biāo)法，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于難題.

“年年歲歲題相似，歲歲年年意不同”，浙江卷以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查為載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)能力立意，重在對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)和解題套路.這就啟示我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)該科學(xué)安排，回歸基礎(chǔ)，鉆研真題，重視解題的通性通法，這樣才能在高考時(shí)拔得頭籌.