數(shù)學教學要體現(xiàn)學生的再創(chuàng)造過程*
——以“兩條直線的平行和垂直”教學為例

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(常州市第二中學,江蘇 常州 213003)

數(shù)學學習是一種再創(chuàng)造的過程.弗賴登塔爾說過：“學習數(shù)學的唯一正確方法是實行‘再創(chuàng)造’，也就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造出來.教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生.”[1]如何有效引導和幫助學生實現(xiàn)再創(chuàng)造就成了教師首當其沖要解決的問題，本文結合筆者開設的蘇教版高中《數(shù)學(必修2)》中“兩條直線的平行和垂直”公開課為例，就如何在數(shù)學教學中體現(xiàn)再創(chuàng)造的過程，談談自己的實踐和思考.

1 教材分析

本節(jié)內容選自蘇教版高中《數(shù)學(必修2)》第2.1節(jié)，學生在此之前已經(jīng)學習了用坐標表示平面幾何基本圖形中的點、線,用代數(shù)對象的有序實數(shù)對和方程表示幾何對象的點、線,在此基礎上,進一步學習利用代數(shù)方程精確研究線與線之間的位置關系.解析幾何的本質是用代數(shù)方法研究幾何問題，核心思想是坐標法思想[2].因此，在教學中要突出坐標法思想，即通過建立坐標系，把幾何對象轉化為代數(shù)對象，把幾何問題轉化為代數(shù)問題，利用代數(shù)的工具、方法研究并獲得結論，然后再解釋幾何現(xiàn)象.

2 學情分析

平面幾何是學生初中階段已經(jīng)學習過的內容，學生已經(jīng)掌握了判斷線線位置關系的方法，這可以為新的判斷方法提供知識基礎.本節(jié)課蘊含了數(shù)形結合、分類討論、坐標法等重要的思想方法，對思維嚴謹性要求較高.學生易于掌握線線平行和垂直的斜率關系，但是對于位置關系中的重合和斜率不存在的情況容易忽視.

3 教學目標

結合教材分析和學情分析，設計教學目標如下：

1)掌握用斜率判定兩條直線平行和垂直的方法，能夠判斷簡單的線線位置關系；

2)讓學生進一步感受坐標法思想在研究幾何問題中的重要作用；

3)通過分類討論和數(shù)形結合思想方法的運用，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.

教學重點：掌握兩條直線平行和垂直時斜率的關系.

教學難點：線線平行和垂直需要考慮直線重合和斜率不存在的情況.

4 教學過程設計

4.1 課題引入

問題1前面已經(jīng)學習了利用坐標系把平面幾何中的基本圖形點、線轉為代數(shù)對象的有序實數(shù)對、方程進行表示.研究完基本圖形后，可以繼續(xù)利用坐標系研究與點、線有關的哪些內容？

生1：可以研究點與線、線與線的位置關系.

設計意圖學生習慣了教師給出學習內容，讓學生自己提出課題，這對學生思維有一定的挑戰(zhàn).在教學中，筆者引導學生回顧平面幾何的學習內容，學生能夠提出課題，變被動學習為主動研究，從而充分調動學生學習的興趣和積極性.

師：這些都是接下來要研究的內容，本節(jié)課我們首先研究線與線的位置關系.直線l1,l2的位置關系有哪些？

生2：平行、相交、重合.

師：本節(jié)課我們主要研究線線平行和垂直.

圖1

問題2觀察圖1，直線l1,l2的位置關系是什么？

生3：平行.

師：你是怎么知道它們平行的？

生3：看起來平行.

師：看起來平行一定平行嗎？

生3：不一定，根據(jù)直線的無限延伸性，看起來平行，也有可能相交.

4.2 建構概念

師：幾何直觀不夠精確，不能作為判斷平行的依據(jù)，你能利用所學的知識去判斷直線平行嗎？

設計意圖問題2是本節(jié)課設計的問題情境，這里給出的兩條直線不是平行的，形雖然直觀，但是容易有誤差.如何說明直線平行，把學生推入思維的困境，他們就會思考如何才能準確判斷直線平行，代數(shù)方法研究就有了必要性.

生4：利用同位角、內錯角、同旁內角來判斷直線平行.

師：你怎么利用這些知識來判斷？

生4：在圖1中畫一條直線與這兩條直線相交.

師：聯(lián)系我們前面剛學的知識，這條線可以是哪條線？

生4：x軸.

師：這時直線與x軸正方向所成角也稱為傾斜角，傾斜角是對直線傾斜程度的刻畫，還有什么量也可以刻畫？

生4：斜率.

師：如何利用傾斜角和斜率來判斷直線平行？

生4：首先要建立直角坐標系.

設計意圖教學中要突出坐標法的思想，坐標法的第一步就是建立坐標系.“為什么要建系，如何想到要建系”這是非常有價值的教學點.通過設問，學生自己感受建立坐標系的必要性，從而滲透坐標法思想在解決幾何問題中的重要作用.

圖2

問題3觀察圖2，當直線l1,l2平行時，它們的傾斜角有什么關系？

生5：傾斜角相等.

師：為什么？

生5：因為傾斜角就是同位角，兩直線平行，同位角相等.

問題4當直線l1,l2平行時，它們的斜率有什么關系呢？

生6：斜率相等.

師：能不能說“若直線l1,l2平行，則斜率相等”？

生6：當斜率存在，兩條直線平行，則斜率相等.

師：直線l1,l2平行可以推出斜率相等，反過來，直線l1,l2斜率相等可以推出平行嗎？

生7：需要指出直線l1,l2不重合.

師：當直線l1,l2斜率不存在時，且l1,l2不重合，則l1∥l2.

總結當直線l1,l2斜率存在時，有

當直線l1,l2斜率不存在，且l1,l2不重合時，l1∥l2.

師：回到問題情境，請利用所學知識判斷圖1中的直線是否平行？

生8：首先需要在兩條直線上各取兩個點，然后度量坐標，再計算斜率，判斷斜率是否相等就可以判斷直線的位置關系.

圖3

學生敘述方法，教師利用幾何畫板軟件進行操作，如圖3，發(fā)現(xiàn)斜率不相等，則直線l1,l2不平行.然后對直線l1,l2進行延伸，找到兩條直線的交點，加強學生對代數(shù)方法研究幾何問題的精確性的認同.

師：利用坐標系從代數(shù)角度可以精確研究直線的平行，光從形的角度容易出現(xiàn)誤差，華羅庚先生曾說過：“形少數(shù)時難入微”，就是這個意思.

通過回顧問題情境，教師向學生展示坐標法思想，具體如下：

問題5觀察圖4和圖5中的兩組直線l1，l2，它們是什么位置關系？

圖4 圖5

圖6

教師首先展示圖4和圖5，給出垂直時傾斜角的關系：β=α+90°，0°<α<90°，90°<β<180°；繼而讓學生猜想一般情況下線線垂直的斜率關系(如圖6)，猜想：l1⊥l2?k1k2=-1.

設計意圖學生難以直接發(fā)現(xiàn)當直線l1⊥l2時的斜率關系，這里采用從特殊到一般的方法，讓學生通過具體實例，猜想k1k2=-1；再讓直線動起來，發(fā)現(xiàn)當直線l1⊥l2時，始終有k1k2=-1，從而驗證猜想的正確性.

師：通過操作能否說明“若直線l1⊥l2，則k1k2=-1”？

生(眾)：不可以，需要給出證明.

師：請利用條件“k=tanα,其中α≠90°，β=α+90°，0°<α<90°”給出證明.

設計意圖這是本節(jié)課的一個難點，學生可以類比利用直線傾斜角的等式關系，推導出斜率關系，教師可以放手讓學生去推導.

學生得到：

k1k2= tanαtanβ=tanαtan(α+90°)=

思考當k1k2=-1時，直線l1,l2垂直嗎？你能將上述的發(fā)現(xiàn)總結一下嗎？

設計意圖給學生總結的機會，讓學生自己提出需要注意斜率不存在的情況，強化學生的分類討論意識.

總結設直線l1,l2的斜率分別為k1，k2，當k1，k2都存在時，l1⊥l2?k1k2=-1；當k1不存在、k2=0時，l1⊥l2.

4.3 課堂練習

例1已知直線l1經(jīng)過點(-1,-2),(1,2)，判斷下列直線與l1的位置關系.

1)直線l2經(jīng)過點(3,1),(5,5)；

2)直線l3經(jīng)過點(-2,1),(2,-1)；

3)直線l4經(jīng)過點(2,4),(3,6).

答案1)l1∥l2；2)l1⊥l2；3)重合.

設計意圖讓學生運用所學知識判斷直線之間的位置關系，強化對公式的掌握.第3)小題的設計是讓學生了解畫圖的重要性，利用斜率判斷平行無法排除重合的情況.解析幾何本質上是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質，解析幾何兼具“形”“數(shù)”兩個方面的特點，畫出圖形，利用圖形的幾何直觀能夠讓我們預判直線的位置關系，然后再用代數(shù)方法加以驗證，這正是數(shù)形結合思想的體現(xiàn).

例2已知△ABC的頂點為A(2,-1),B(-1,1)，C(3,7),

1)試判斷△ABC的形狀；

2)求過點B與AC平行的直線l1的方程；

3)求過點B與AC垂直的直線l2的方程.

答案1)直角三角形；2) 8x-y+9=0；3)x+8y-7=0.

設計意圖通過例2的教學，繼續(xù)強化學生解決解析幾何問題的畫圖意識.

4.4 課堂總結

問題6本節(jié)課你有哪些收獲，請從知識層面和思想方法層面進行總結.

問題7接下來，我們還可以繼續(xù)利用坐標系研究平面幾何的哪些內容？

設計意圖總結反思是一節(jié)課的提升，是學生收獲戰(zhàn)利品的時候，十分重要，不能走形式，要給予學生必要的時間總結內化.問題7的提出，讓知識學習具有系統(tǒng)性和連續(xù)性，從而激發(fā)學生繼續(xù)探究的欲望.

5 教學反思

1)充分了解學生已有的認知結構，是再創(chuàng)造的前提.

2)創(chuàng)設有效問題情境，是再創(chuàng)造的關鍵.

問題情境是一節(jié)課至關重要的部分，好的開始是成功的一半.好的問題情境能夠一下子吸引學生的興趣和注意力.筆者在最初進行教學設計時發(fā)現(xiàn)教材給出的情境設計很簡單，直接給出了直線平行和垂直的斜率關系，然后加以證明就結束了.筆者在查閱相關資料后，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課主要有兩種問題情境的設計模式：一類給出建筑物平行和垂直的實例，然后引入課題；另一類是給出幾組具體的直線平行和垂直的方程，讓學生畫圖發(fā)現(xiàn)特殊的位置關系，再一般化研究.前者設計的問題情境在課題引出后就失去了價值，后者則過于平淡，兩者都難以有效體現(xiàn)再創(chuàng)造的過程.

為什么初中階段已經(jīng)學習過的直線平行和垂直在高中階段還要再學習？學生是存在困惑的，抓住這一點，筆者給出了一組看似平行實則相交的直線讓學生去判斷位置關系，學生認為平行，卻沒有合適的方法去證明，就會產(chǎn)生認知沖突，就有自發(fā)學習新知的內在需求.問題情境的設計能有效體現(xiàn)形的直觀但容易有偏差，為了彌補形的不足，需要建立坐標系，利用代數(shù)方法的精確研究直線的位置關系，使得教學過程順其自然.教師帶著疑惑，引導學生自主探究出直線平行的斜率關系，再回到問題情境，讓學生應用所學的知識去解決問題情境提出的問題.這樣的設計讓問題情境不再只是點綴，而是使學生浸潤于問題情境中，通過自主思考，探索解決問題的方法，學生能夠在學習中獲得成就感.

3)大膽留白，是再創(chuàng)造的保障.

學生是數(shù)學學習的主人，再好的教學設計，如果學生的思維沒有參與，那么將會事倍功半.教師往往替學生想的太多、包辦的太多，使得教學設計過于“飽滿”，留給學生思考的余地很少，學生的思維能力很難得到提高發(fā)展.教師要做的就是設計具有啟發(fā)性和目的性的好問題，在教學中大膽留白，讓學生去思考探索，去展示交流想法，把學生充分卷進課堂中來，這樣才能真正體現(xiàn)學生的主體性地位，實現(xiàn)數(shù)學學習的再創(chuàng)造.