在高中數學教學中如何提高學生思維效率

柯志堅

【摘 要】高中數學課堂教學的核心是學生思維能力的培養， 只有學生思維效率的提高，才能提高課堂教學效率，也才能使每個學生得到充分自主的發展。本文就在課堂中如何引導學生展開豐富聯想、訓練發散思維、啟發學生深入探究、最終實現飛躍，談談自己幾點粗淺的認識。

【關鍵詞】高中數學；引領思維；數學語言；聯想；數學思想；歸納

研究背景：經常有學生這樣說：“高中理科數學，總是在考試時想不到那里去，看了答案后才明白，但換個題又想不到那里。”還有一種聲音：“高中每次數學考試都太難了，都做不完”這種現象主要原因在于學生的思維效率不高，基于此，如何在高中數學課堂教學將觸角延伸到學生的思維層次，提高學生思維效率，使學生在解題中能迅速地想到解題思路，縮短解題時間從而提高數學成績，進而提高學生的數學素養。

思維效率，簡言之就是在思維過程中的投入與產出之比。它是高中生對數學思維過程及其結果的一種綜合評定，是質與量的統一。從量上講它是對高中學生解題速度的一種綜合測評；從質上講，它是對高中學生思維結果的質量如嚴密性、深度、廣度、正確度的評價。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求：“數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維和創新能力方面不可替代的作用。”著名教育心理學家布魯納指出：數學教學的核心是“思維”的教學，數學的核心價值是發展人的思維，使人變聰明，思維更加嚴密。那么在高中數學教學中，如何提高學生的思維效率，引領學生學會由“想不到”迅速變為“想到”解題的明確方向，找到更加簡潔的思路，筆者認為高中數學教學中主要引領學生學會以下幾種思維習慣：

1.引領學生養成審題時對三種數學語言的轉化的習慣

從數學語言的表達形式主要分為文字語言、符號語言和圖式語言三種，準確把握文字語言、符號語言和圖式語言的特點，靈活地對三種數學語言進行轉換，是提高數學解題能力的關鍵。筆者認為這是數學思維的發展的起點。因此在教學時要引領學生對三種數學語言及其它們之間的關系所表達的含義進行認真分析、仔細推敲，實現三種語言進行轉化。這在教學上是常規現象，教師都要處處時時引導學生進行語言的轉化，在此不過多累述。

2.引導學生產生有價值的聯想

不少高中生對數學的基本定理、公理、公式及性質都爛熟于胸，但解題時不知從何入手，其重要原因是不能對題意進行合理、全方位的聯想。因此有必要引導學生學會產生有價值的聯想，找到解題突破口。

2.1審清題意的顯性條件，聯想發現有價值的隱性條件

善于根據題意的顯性條件去聯想與其有關的定理、定義及性質，從而轉化得到一些有利于解題的隱性條件，并要觀察結論的形式特征，盡量把聯想到的向結論靠攏。

例1：已知雙曲線■-■=1（a，b>0），過x軸上點P的直線L與雙曲線的右支交于M，N兩點（M在第一象限），直線MO交雙曲線左支于點Q（O為坐標原點），連接QN。若∠MPO=60■，∠MNQ=30■，則該雙曲線的離心率為_____。

師：由題“已知雙曲線”想到什么？

生1：雙曲線的定義、性質。

師：根據題意，我們要先怎么做？

生：數形結合（文字語文轉化成圖形語言）

師：由“∠MPO=60■，∠MNQ=30■，”想到什么？

生2：解三角形；

生3：角度轉化為斜率。

師：“則該雙曲線的離心率”怎么求？

生4：找出一個關于a，b，c的“齊次式”。

師：你們的聯想哪個較有價值？

生5：生1聯想的定義沒價值，因為題目與焦點無關；應是生1提到的性質中的雙曲線的中心對稱性較有價值。生2的解三角形MNQ有角沒邊，解不了三角形，應是生3提到的角度與斜率有關。可以知道K■=-■。

生6：“點o是MN的中點”，可以想到構造△MPQ中位線。取MN的中點G，連OG，如圖（2）可以得到∠OGM=∠MNQ=30■從而可得到∠POG=∠OGM=∠MNQ=30■即得K■=-■。由“點差法”。易得：K■·K■=1，∴e■=1+■=2。

當然教師也可以再適當地發散學生的思維進行變式練習，將雙曲線變為橢圓或圓等。

2.2引領學生學會“執果索因，尋根求源”的思維方式

分析和解答數學問題時“不要忘記為何出發”，也就是要從結論出發，逐步地追溯使結論成立的條件，反映在解法上就是分析法，也稱之為逆推法。筆者認為“執果索因”的方法不僅是數學解題的思維方式，也是生活中的思維方式，它能使人更聰明。培養學生的創造力。

例2：證明：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

已知：α⊥β，a α，α∩β=b，a⊥b，求證：a⊥β。

分析：要證明這個面面垂直的性質定理，不少高一學生會無從下手，教師可以這樣引導。

師：如何證α⊥β？

生：只需證a垂直β內的兩條相交直線。

師：題目只有a⊥b，怎么辦？ 生：創造一條。

師：如何創造這一條？還需要關注題目的哪個條件？

生：由α與β所成的二面角的平面角為90■，過a和b的交點O

在β面內做b的垂線c，由二面角的定義可得a⊥c如圖3所示，進而得到證明。

3.引領學生學習并運用數學的思想分析問題

高考解題需要靈活運用數學思想方法才能突破。教學的時候應當引導學生先認識數學的七大重要思想，如什么是函數與方程、分類與整合、數形結合、轉化與化歸、特殊與一般、有限與無限這七大思想的意義。此處重點舉例函數與方程的思想和轉化歸的思想在課堂教學中的滲透。

3.1重視滲透函數的思想，提升學生的思維效率

函數與方程思想就是通過函數問題與方程問題相互轉化，從而解決問題的一種思維方式。簡單的講就是“設量、找等量關系、消元、構建目標函數、用函數的圖象或性質分析解決問題。”，引導學生應用思想方法分析，讓學生的思維多點開花，迅速找到解題最佳途經。

例3：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A=■，若D為BC上一點，且A=■且■=2■，b=3，AD=■，求a。

師：此題應當如何分析呢？

生1：求值問題求范圍問題應當用函數與方程的思想來分析解題。

生2：以數解形的數形結合的思想，題目有A=■即可建立適當的坐標系。

師：除了這兩種思想，那還有沒有其它聯想呢？

生3：由題意中有向量、模長和角度，可選擇用向量基底表示來解此題。

生4：點D為BD的三等分點，想到做輔助線，構造兩個三角形相似。

師：同學們分別用這幾種思想對比下，時間有限，你們認為哪種方法最快呢？大家試試。

思路1：函數與方程的思想的應用

生5：題目中角A=■且■=2■，b=3，AD=■，為了求出目標需要知道|AB|。

第一步：設量：可設|AB|=C，但用公式時還需要進行設BD=x則BD=2x，BC=3x。

第二步：找兩個等量關系：有三個等量，找三個等量關系。在△ABD，和△ABC中，

由余弦定理cosB=■=■得：3x■-c■+27=0 （1）

或者由cos∠BDA=-cos∠CDA=■=-■得3x■-c■+27=0 （1）

在△ABC中，由余弦定理得：9x■=c■+9-3C （2）

第三步：消元：聯立（1）、（2）可求出a=3x=3■。

當然還可以有以下思路如：

思路2：數形結合，以數輔形

以A為原點，以AB所在的直線為x軸建立如圖直角坐標系，如圖7所示：設B（x，0），易求出C坐標并用x表示點D的坐標由|AD|=■得x=6，在△ABC中，由余弦定理得a=BC=3■。

思路3：聯想到向量法

以■，■為基底，則■=■■+■■又■■=21，得：■AB■+■（AB）+1=21，可得■=6。

思路4：初中的補割法

如圖8，過D作DE//AC交AB于E，通過相似比，可發現∠EDB=∠ACB=90■得解。

3.2引領學生善于化“陌生”為“熟悉”，培養學生轉化與化歸的思維方式

在高中數學解題中所用到的數學思想其實歸根結底都是化歸思想因此化歸思想是高中階段數學思想的精髓。

例4：（2015全國Ⅰ卷理12）設函數f（x）=e■（2x-1）-ax+a，其中a≤1，若存在唯一的整數x■，使得f（x■）<0，則a的取值范圍是___。

分析1：考慮轉化為e■（2x-1）

分析2：考慮用較為熟悉的“參數分離法”技巧，分離成一個可通過求導畫出草圖的定曲線h（x）=■和參數a，但須要進行分類討論。

略解1：設g（x）=e■（2x-1），h（x）=a（x-1），由題知存在唯一的整數x■，使得g（x■）在直線h（x）的下方.易畫出g（x）的草圖如圖9所示，求出g（x）■=-2e■，且g（x）過點A（0，-1），B（-1，-■）。直線h（x）恒過點P（1，0），由圖象可得故K■≤a

略解2：當x>1時，問題轉化為存在唯一的整數x■，使得h（x■）■

可得函數h（x）在（1，+∞）的草圖如圖10所示，可得h（x）■=h（■）=4e■>1，舍去

當x=1時，h（1）=e>1，舍去。當x<1時，問題轉化為存在唯一的整數x■，使得h（x■）

可得h（x）■=h（0）=1，h（-1）=■，如圖11所示，即■≤a<1。

4.要求并引導學生自我歸納總結提升

歸納的意義在于抓住本質，切中要害，由表及里，以此及彼，去粗取精，抓住主線，不僅在題型的歸納，更在于如何思維的歸納，使學生的解題效率更高，數學素養得到提升。

總之，在傳統的教學中，一堂課下來很多教師的做法是直接灌輸，講好幾道題，教學效率看似很高，但學生的基本技能、數學方法、科學的探究以及解決問題的思維能力沒有得到發展。因此，在高中教學中更要強調培養學生良好的思維習慣，除了數學知識的攝入，還應通過引導、聯想、發現，點燃學生的智慧，挖掘學生的潛力，提高思維效率，實現真正意義上的素質提高。

【參考文獻】

[1]阿迪力江·蘇來曼.上海內高班學生數學語言轉換能力的調查研究[D].[出版地不詳]：上海師范大學，2018

[2]佚名.執果索因-回歸常理-簡化[J].刊名缺失，出版年缺失，卷缺失（期缺失）：頁碼范圍缺失

[3]楊社鋒.化歸思想在高中數學解題中的應用[D].[出版地不詳]：河南大學，2015