旋轉變換在初中幾何中的應用

趙珊珊

【摘要】初等幾何變換中的旋轉變換與中學幾何教學有著密切的內在聯系，而且隨著新課程標準的實施，它在現行的中學教材中占有更加重要的地位.本文簡述初等幾何變換中旋轉變換的相關內容，探討旋轉變換在初中幾何解題中的應用.

【關鍵詞】旋轉變換；初中幾何；應用

隨著德國數學家克萊因（F.Klein）《埃爾蘭根綱領》的發表，幾何已經被視為在某種變化群下，研究圖形的不變性與不變量的學科.基于圖形的不變性，各行業均可以利用這一性質獲得便利.現今，初等幾何變換的思想影響著初中數學，并由此指導學生用這種思想來處理幾何問題，已成為數學課程改革的趨勢.而本文主要概述旋轉變換的相關性質，并對它的相關應用進行舉例說明.

我國對于平面幾何教學的改革也在進行，但是改革的力度還不夠，雖然在我國中學幾何教材中已引入變換的概念，但與國際上數學教學的現代化教育進展的并不協調.

一、旋轉變換與初中幾何教學的聯系

（一）介紹旋轉變換的基本概念

初等幾何變換一般包括合同、相似、反演變換，其中合同變換、相似變換與中學幾何教學聯系更緊密些.旋轉變換屬于合同變換.初中教材中，旋轉變換單獨列為一個章節，從直觀到抽象，從定義到性質，有助于學生全面理解這一知識點.本文對于旋轉變換的概述主要結合人教版九年級上冊旋轉這一章節的內容以及中考題型，為此，我們首先給出旋轉變換的定義及基本性質.

定義（[1]）：設O為平面上一定點，φ為一個有向角，R是平面上的變換.如果對于任意一對對應點P，P′，通過變換R總有OP=OP′，∠POP′=φ，那么變換R叫作以O為旋轉中心，φ為旋轉角的旋轉變換，記為R（O，φ）.

顯然，旋轉變換由旋轉中心與旋轉角唯一確定，并具有下列性質（參見文[1，2]）：

性質1當旋轉角φ≠180°時，直線與其對應直線的交角等于φ.

性質2關于同一旋轉中心的兩個旋轉變換的乘積仍是一個旋轉變換.

性質3旋轉變換的逆變換仍是一個旋轉變換.

性質4非恒等的旋轉變換只有一個不變點——旋轉中心，當旋轉角φ≠180°時，旋轉變換沒有不變直線：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.

（二）中學幾何課程對于旋轉變換的基本要求

旋轉變換是國外數學課程不可缺少的一部分.日本的《數學課程標準》要求學生理解旋轉變換并探究旋轉前后兩個圖形的聯系.美國的《統一核心州課程標準》中旋轉變換同樣存在.他們通過幻燈片的演示幫助學生更直觀地了解旋轉，最后通過實驗的方式展現旋轉變換的相關性質.

國內的《初中數學新課程標準（2011版）》中，開始明確提出單獨列圖形的旋轉為一個獨立的章節，要求學生通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉.旋轉出現在人教版九年級上冊的第二十三章，通過直觀的圖形的旋轉讓學生認識旋轉變換，并對它進行了具體的描述，同時由教師帶領學生一起發現旋轉的性質.

（三）變換思想與學生思維

初中生特征：思維比較敏銳、不完善、易受影響.他們正處于發展階段，他們自身的認知結構和思維水平尚未完善，如若教師在這個時候對他們進行正確的引導，能為學生后續的幾何學習提供很大的幫助.

因為初中生思維的發展特征，以及學習旋轉變換需要的空間想象能力，使得學生在一開始接觸這部分內容時將受到阻礙，所以作者認為在中學幾何教學中結合教材內容，逐步向學生介紹幾何變換的觀點和方法，是必要的、可行的.它有利于培養學生對幾何學習的興趣和愛好，拓展思路，提高學生的分析和解題能力，它還在現代數學理論中發揮著巨大的作用.

二、旋轉變換思想在初中幾何問題中的應用

旋轉變換就是以運動的觀點去看待兩個幾何圖形，即在變換下，一個圖形變為另一個圖形，這種觀點是現代數學中很普及且重要的觀點，與傳統的靜止觀點相比較，有本質的區別.將這種觀點運用到解決數學問題中，很多問題就有可能迎刃而解.

掌握旋轉變換的思想，可以幫助我們從運動的觀點制訂解題方案.既可以提供思考途徑，也可以提供解題手段.運用旋轉變換思想，比較容易發現題設與結論之間的聯系，想出如何對圖形施行變位、變形的策略.通過規律性的認識，有目的地添畫輔助線，更有助于揭示解題途徑.

運用旋轉變換進行解題的一般步驟，可概括為：

1.仔細讀題，分析條件和問題；

2.認真觀察圖形；

3.用旋轉變換思想來考慮解題思路；

4.靈活運用旋轉變換的性質解題.

例如圖所示，△ABD，△AEC都是等邊三角形.求證BE=DC.

分析首先讀題，由△ABD，△AEC都是等邊三角形可知，這里涉及等邊三角形的相關性質.緊接著我們由對旋轉變換的敏感性發現△ABE有可能是△ADC旋轉后的圖形，由此我們可以嘗試證明△ABE和△ADC全等.如若證出全等，則證出BE=DC.證明過程如下：因為△ABD，△AEC都是等邊三角形，所以AD=AB，AC=AE.又因為∠DAB=∠CAE，而∠BAC是公共角，所以∠DAC=∠BAE.綜合上述兩個結論，可以得出△ADC≌△ABE，所以BE=DC（全等三角形的對應邊相等），證畢.

總結運用旋轉變換思想解題，能夠幫助學生理清解題思路，使用簡捷的方法解決幾何類型題目中的問題.學習旋轉變換的性質和意義，不僅能幫助我們更有效地解決初中幾何問題，而且在思考其他的數學問題時也可以發揮作用.

【參考文獻】

[1]鄧鵬，康紀權，孫海.初等幾何研究[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]宋芝業，紀志剛.《幾何原本》與中國現代初等幾何學科的興起[J].自然辯證法通訊，2017（2）：17-21.