構造法在大學生數學競賽中的應用

閆曉輝 王磊 姚玉武

【摘要】構造法作為一種重要的解題方法，在數學學科中的應用尤為突出.構造法的本質是依據題設條件與結論，抓住它們之間的內在聯系以及問題的位置、數字、外形等特征，并用新的觀點對對象進行觀察、分析和解釋，從而解決相應的問題.本文通過分析、總結構造法的基本思想，并通過應用舉例，探究構造法思想在大學生數學競賽中的應用，充分體現了構造法的靈活性及其巧妙之處.

【關鍵詞】構造法；大學生數學競賽；應用

【基金項目】卓越人才教育培養計劃（編號：2016ZJJH053）；安徽省質量工程重大教學改革研究項目（編號：2015ZDJY140）.

一、引言

構造法是利用創造性解題的一種方法.構造法思想具有悠久的歷史，可以說它從數學學科誕生的那天起就產生了，且隨著數學的發展而不斷發展.歷史上有很多數學家都曾用構造法解決過數學上的許多難題，如歐幾里得、高斯、拉格朗日等等，隨著構造思想在解題中越來越多的應用，人們也越發了解到構造法的重要性，然而構造法較難掌握，它不同于一般的邏輯方法，應用于解題時并沒有一定的規律或原則可循，因此，對構造法的理解、掌握以及靈活地應用顯得尤為重要.

隨著社會的發展與科技的進步，我國對人才的需求與日俱增，培養創新型人才更是重中之重.目前我國各大高校均已開展各種有助于提高創新性的競賽活動，其中“大學生數學競賽”備受矚目，它不僅可以推動高等學校數學課程的改革與建設，提高大學數學課程的教學水平，而且還可以激發大學生學習數學的興趣，發現及選拔數學創新人才，這為國家的發展提供了不竭的動力.大學生數學競賽作為一項競技類考試，要求學生具備一定的思維跳躍度，而在緊張的競賽氛圍中，面對高難度的試題，要想獲得高分，還需要及時準確地選擇恰當的解題方法，從而進行快速高效解題.雖然構造法沒有固定的方法步驟可循，但它在解題過程中卻發揮出了不可估量的作用.若參賽者能快速準確地把握構造法在解題中的應用，必定能得到事半功倍的效果.

二、構造法的基本思想

在解題過程中，出于某種需要，要么把題設條件或結論中的關系構造出來，要么構造某個模型來體現其關系，抑或是將已知條件經過適當的組合而構造出一種新形式來解決問題.因此，對于從不同角度的構造，我們可將其分為三大類：直接構造、變更條件構造和變更結論構造.在這種思維過程中，對已有的方法和知識采取分解、組合、推廣、變換、類比等手段進行思維的再創造，構造出新的式子、圖形或簡化的問題來幫助解題的思想，我們稱之為構造法的思想.

構造法的實質是指當用通常的方法、定式思維去解決某些數學問題很難奏效時，根據題設條件和結論的性質、特征，用新的觀點觀察、分析、解釋對象，抓住反映問題的條件與結論之間的內在聯系，把握問題的外形、數字、位置等特征，來解決相應的數學問題.其步驟較直觀，靈活性大，關鍵在于借助對問題特征的敏銳觀察，展開豐富的聯想，實施正確的轉化.它的具體解題過程可用下面的框架來表示：

用新的觀點對題設條件、結論特征及其相互關系進行分析

通過創造性思維構造出相應的模型或問題，從而化簡問題

通過對構造出的問題或模型進行推理演算得出結論

構造法作為一種常用的數學解題方法，它雖然沒有具體可循的解題步驟，但它和其他方法一樣，本身具有獨特而又顯著的特征，如，解題步驟的直觀性、解題過程的構造性、構造方式的靈活性與可行性以及構造思維的多樣性.

在大學生數學競賽中，構造法不失為一種快速高效的解題法.對于具體的數學問題，我們經常需要構造函數、構造區間套、構造點列和子列、構造開覆蓋等等來進行解題.構造函數方法包括直接觀察、移項構造函數、湊導數構造函數、利用不定積分構造函數和利用常數值構造函數等等.另外，我們根據實際情況往往需要構造多項式、二次型、矩陣、行列式、變換與基等來解決代數問題.解析幾何的基本思想就是用代數的方法來研究和解決幾何問題，為了把代數運算運用到幾何中來，最根本的做法就是設法把空間的幾何結構代數化與數量化，在將幾何代數化與數量化以及解決幾何問題的過程中，我們會用到很多數學思想方法，最常見的有數形結合、類比、構造；構造法包括構造輔助函數、構造方程、構造向量、構造平面束、做輔助線等等.構造法思想在大學生數學競賽中能夠得到充分應用，使得對問題的求解更為簡便.

三、應用舉例

例1計算n階行列式

Dn=x-aaa…aax-aa…aaax-a…aaaa…x-a .

分析行列式的計算是高等代數的基礎，對于題中這類n階行列式，根據行列式的性質，我們有很多方法去求解，如，三角形法、拆分法、加邊法、遞推法、構造法、數學歸納法等等，求解方法的選取適當會使得計算過程簡化、方便.

解（構造輔助行列式法）在Dn的各元素上加（-a）后，則有

證明一設F（x）=f（x）sinx+f′（x）cosx，則F（x）在[-2，2]上可導.

因為f2（0）+[f′（0）]2=4，|f（x）|≤1，

所以|F（0）|=|f′（0）|≥3>1，

又因為Fπ2=fπ2≤1，F-π2=f-π2≤1，故F（x）在-π2，π2上的最大值點或最小值點必有一個落在-π2，π2.設ξ∈-π2，π2為F（x）在-π2，π2上的一個最值點，則有F′（ξ）=[f（ξ）+f″（ξ）]cosξ=0.顯然cosξ≠0，于是f（ξ）+f″（ξ）=0.

證明二設F（x）=f2（x）+[f′（x）]2，則F（x）在[-2，2]上可導且F（0）=4.

應用拉格朗日中值定理可知，存在ξ1∈（0，2），

使得f′（ξ1）=f（2）-f（0）2-0.

于是

|f′（ξ1）|=f（2）-f（0）2-0≤|f（2）|+|f（0）|2≤1，

同理存在ξ2∈（-2，0），使得|f′（ξ2）|≤1.由此F（ξ1），F（ξ2）≤2

從而F（x）在[ξ2，ξ1]上的最大值點ξ∈（ξ2，ξ1），即有

F′（ξ）=2f′（ξ）[f（ξ）+f″（ξ）]=0.

又因為[f′（ξ）]2=F（ξ）-f2（ξ）≥F（0）-1=3，

所以f′（ξ）≠0，于是f（ξ）+f″（ξ）=0.

注：構造函數的方式不同，所構造出的函數對于解題的作用也不一樣.證法一就巧妙地利用了三角函數構造新函數，并根據極值點的特性，非常簡單地證明了此題；證法二的函數構造雖然比較自然，但是在最值點的討論過程中還要用到中值定理，難度較大.這便突顯出了構造法的靈活性，體現了構造法的美妙之處.

例3（第四屆全國大學生數學競賽預賽（非數學類））

試求通過直線L：2x+y-3z+2=0，5x+5y-4z+3=0 的兩個相互垂直的平面π1和π2的方程，要求使其中一個平面過點（4，-3，1）.

解構造過直線L的平面束為λ（2x+y-3z+2）+μ（5x+5y-4z+3）=0，即（2λ+5μ）x+（λ+5μ）y-（3λ+4μ）z+（2λ+3μ）=0，

若平面π1過點（4，-3，1），代入得λ+μ=0，

即μ=-λ，從而平面π1的方程為

3x+4y-z+1=0，

若平面束中的平面π2與π1垂直，則

3·（2λ+5μ）+4·（λ+5μ）+1·（3λ+4μ）=0，

解得λ=-3μ，故平面π2的方程為x-2y-5z+3=0.

四、結論

構造法作為一種常用的數學解題方法，其原則具有非常規性，方法具有試探性，思維具有創造性，在解題過程中體現了還原、分解、簡化、數形轉化等功能.本文主要分析構造法的基本思想及其在大學生數學競賽中各部分的廣泛應用，利用構造法解題能夠培養我們思維的靈活性和個人分析問題的能力，使復雜的問題簡單化，使隱含的問題具體化.

【參考文獻】

[1]李文林.數學史概論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]劉蘭萍.構造法與數學解題[J].青海教育，2002.（9）：37.