啟發式教學在高等數學教學中的應用

蘇麗麗

【摘 要】 本文中作者結合教學實踐案例展示了啟發式教學在高等數學教學中的應用，并針對目前高等數學教學面臨的現狀給出了有效的建議。

【關鍵詞】 高等數學；啟發式教學；教學實踐

【中圖分類號】 G64.0 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2018）07-0-01

《高等數學》是高等院校理工科類專業學生的一門基礎必修課，除了后續課程的學習奠定了一定的知識基礎，更重要的是提高學員的綜合能力。由于高等數學具有高度的抽象性，而學員學員正處于從中學到大學的過渡期和適應期，加之沒有良好的數學素養。因此教學過程中高等數學課面臨著學生學習積極性不高的現狀，而后繼專業課對高等數學的要求卻越來越高。怎樣利用較少的授課時間來獲得較好的教學質量和效果，是我們廣大高等數學教育工作者都應該思考的問題。

傳統的教學方法主要是以傳授知識目的，過多地強調概念、公式、定理、這樣，學生容易在學習中感到枯燥乏味。對數學的認識也只停留在概念、定理上，而無法將這些知識轉化成能力運用在工作實踐中，因而產生厭學情緒。如果既想提高學生的興趣又要凸顯出高等數學的特殊教育功能，除了要充分挖掘這些知識點背后所蘊含的數學思想、數學方法外，還要改進教學方式。下面就以羅爾定理的教學為例介紹啟發式教學的應用。

一、教學實踐

1、引導學生從幾何直觀中發現規律

引導學生觀察圖一的特點，再結合更多的幾何圖形觀察分析，總結出一般的幾何事實：

平面內滿足以下三個條件“連續的、除了端點外處處有不垂直于x軸的切線、端點的連線與x軸平行”的一條曲線段，一定具有水平的切線。

2、引導學生將幾何事實轉化成數學語言

在這里事實上是用到了數形結合的思想，將一條曲線所具有的性質來刻畫它所對應的函數的性質，即如果一個函數滿足：在閉區間上連續、在開區間內可導、區間端點的函數值相等，則該在開區間內至少存在一點，函數在該點的導數值為0。這樣就得到了羅爾定理。

按上面教學過程處理羅爾定理的教學，自然使同學們看到了定理產生的背景，這對學生理解定理的內涵和外延是有很大好處的，也為學生應用羅爾定理解決其它問題奠定良好的基礎。引導學生將文字語言翻譯成數學語言，是我們教學的必備之功。“猜”出結論后，進一步引導學生探討證明結論的方法。

3、引導學生探討證明結論的方法

要給出嚴格的數學證明，對學生來說是一個不小的挑戰。首先，一個區間上有無數個點，怎么找出一個滿足條件的來，僅從函數出發無從下手，那么就借助幾何圖形去觀察，找到某些個性。觀察發現：這些點恰好位于曲線的波峰或波谷的位置，反應在函數中就是極值點。那么就會得到這樣的一個結論：極值點如果可導，則導數值必為0，即費馬引理。只要我們證明費馬引理，結合極值點與最值點的關系，馬上就可以證明羅爾定理。因此，證明羅爾定理的核心在于證明費馬引理。

注意到這里的函數是抽象的，沒有具體的表達式，無法將學生擅長的計算融入進來，就需要找到一個突破口。引導學生快速回顧與導數相關的知識，僅有概念和求導公式，由于求導公式是針對具體的函數而言的，在這里來說沒有意義，因此我們最終只能借助定義。在這里也要提醒學生積累經驗：當我們對一個數學量的計算無從下手時，考慮借助概念解決。

4、引導學生理解定理的內涵和外延

（1）從簡單的實例出發，強調定理的條件缺一不可。

（2） 定理條件是充分非必要條件。

（3） 引導學生結合幾何圖形積極思考：如果取消定理中的第三個條件會有什么結果。

二、啟示

現階段的高等數學教學普遍面臨著學生學習積極性不高的現狀，一方面是由于高等數學是大學第1學期的課程，這一階段的學生必然有一個從中學到大學過渡期和適應期。中學數學是“常量數學”，研究的是靜態的，有限的，具體的數學問題；而大學數學研究的是動態的，無限的，抽象的數學問題.兩者之間有著本質的差別，無論是思維方式，還是處理問題的方法手段都是完全不相同的。這本身就造成了學生在理解、認知及思維方法上的困難。另一方面是由于課堂的教學方式，傳統的教學方式中，教師的主要角色是傳授知識，而這一角色主要是通過講授課程來實現。再加上大學數學的課程設置、課程安排、講授方法的選擇大部分都是從教師的角度出發，很少根據學生的需要來確定。大部分教師經過幾年的教學之后，傾向于重復過去就成為傳統教學的最大特點。這樣一來，程序化、標準化的教學成為這種教學模式的真實寫照，且課程講授方法單一、刻板。這樣的課程嚴重脫離學生的實際，學生便喪失了學習興趣。

啟發式教學方式也可以運用到教學的每一節課中，概括來說，即不要直接給出概念的定義，而是要展示概念的實際背景和其形成過程，揭示其中所隱含的數學思想和方法；對公式、定理不要過早地給出數學結論，而要引導學生積極參與這些結論的探索、發現、推導證明過程，從中領悟思維過程中的數學思想方法；求解數學問題時，不要過早地給出答案，而是要引導學生積極思考、討論，尋求解題的方法、規律，提高學生解決數學問題的能力。以數學知識為載體，傳授數學思想與方法，培養數學思維，提高數學素養才是高等數學教育的真正目的。作為高等數學教育者而言，緊跟時代發展步伐，不斷更新教學理念，不斷探索新的教學方法，引導學生從思想上改變認識改是解決高等數學教育現階段所面臨的困境的有力途徑。

三、結語

在教學過程中加強學生思維能力的培養和創新思維的訓練絕不是紙上談兵，教師要主動變“傳統”為“探究”的教學方式，充分地體現了知識的形成過程，促使學生以探索者的身份去發現問題、解決問題。教學中，應當引導學員多方位觀察，多角度思考，廣泛聯想，培養學員廣泛的觀察力和活躍的靈感，提高他們的綜合能力。

參考文獻：

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