數學教學中學生發散思維的培養

劉佐學

【關鍵詞】 數學教學；發散思維；培養

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A

【文章編號】 1004—0463（2018）06—0116—01

發散思維即求異思維，是指依據研究對象所提供的信息，使思維打破常規，對已知信息進行多方位、多層次思考，尋求變異，探索多種解決問題的方案或新途徑的思維方式。在數學教學中培養學生的發散思維可以打破思維的僵化，開拓思路，打破思維消極因素的束縛，能培養學生思維的靈活性、廣闊性和創新性。那么，如何在數學教學中培養學生的發散思維呢？

一、培養學生細致的觀察能力是基礎

觀察是人們全面、深入和正確地認識事物的一種過程，是學生增長知識的主要途徑。 注重以扎實的基礎知識引導學生多層次、多角度觀察問題是克服思維定勢，培養思維廣闊性的前提，也是培養學生發散思維的基礎。

例1 m為何值時直線x-y+m=0被曲線x2+y2=5所截得的線段之長為2

？

分析：大多數學生按平常習慣的思路來解此題，就是把直線方程代入曲線方程，求出它們的交點坐標（或坐標之間關系），再借助韋達定理和距離公式來解，這是受思維定勢的潛在影響。其實，本題所給的條件具有新的特點：曲線是圓，半徑為；直線x-y+m=0被圓截得的弦長為2，即為圓的直徑。于是，直線x-y+m=0必過圓心，所以m=0。實踐證明，精細觀察力的訓練，較好地揭示了被掩蓋的數學關系，使學生思維更加具有靈活性和開闊性。

二、多種形式的訓練是重要途徑

1. 對題型的發散。題型發散是將由發散點出發的典型問題，變換其題型，進行發散思維。一般數學的發散題型有判斷題、填空題、選擇題、證明題和解答題等。題型發散可增大學生知識的覆蓋面，訓練他們計算的正確性和熟練程度，并培養他們嚴密的邏輯推理能力及簡明、正確的書面表達能力。

2. 對條件的發散。例2 ？駐ABC為直角三角形，∠ABC=90°，CD⊥AB于D（圖1），試給出適當的條件，可以確定AC的長.

分析：讓學生盡可能變化已知條件，從不同角度、用不同知識來解決問題。這類開放性題目的訓練能使學生感覺到是自己出題自己解答，訓練了學生的想象力，開拓了學生的知識面，加深了對知識橫向聯系的認識。

已知條件的給法有多種，現僅考慮每次給出兩條邊的情況，一般有如下十種

（1）AD，CD；（2）AB，BC；（3）AD，AB；（4）AD，BD；

（5）AB，BD；（6）CD，BD；（7）BD，BC；（8）BC，CD；

（9）AD，BC；（10）AB，CD

由（1）或（2）直接應用勾股定理即可求出AC，由（3）、（4）或（5）可用直三角形相似列出比例式求出AC，由（6）、（7）或（8）則需要你利用勾股定理及直角三角形列出比例式可求出AC，由（9）或（10）需要列出相應的方程即可求得AC。

3. 對結論的發散。例3 已知⊙O內切于四邊形ABCD，AB=AD，連結AC、BD。請畫出圖形，圖中除A，B，C，D，O五個字母外，不再標注其他字母，不再添加任何輔助線，由這此條件可推出哪些結論？

分析：這類開放性題目由于沒有固定結論，讓學生盡可能多地猜想未知結論，并去證明其未知結論，達到訓練學生思維的深刻性，加深對知識縱向聯系的認識。

要畫出準確的圖形（圖2）必須依賴于有關的正確結論，在畫出準確圖形的基礎上，學生的結論也是各異的。例如

（1）A，O，C三點共線；（2）∠ABC=∠ADC；（3）AC平分∠BAD；（4）BC=CD；（5）AC⊥BD且平分BD；（6）S四邊形ABCD=AC·BD；（7）？駐BAC？艿？駐DAC；（8）∠FAC+∠DBA=90°

4. 對圖形的發散

例4 ABC和ADE都是等腰直角三角形，M為EC的中點，求證？駐BMD為等腰三角形（圖3）。

學生很容易就能證明本題，但教師提出將等腰直角三角形ADE繞A點按逆時針方向旋轉45°（圖4）或90°（圖5），結論仍然正確嗎？（結論仍正確）

通過？駐ADE的位置變化，產生一系列新的圖形。了解幾何圖形的演變過程，可以舉一反三，觸類旁通。通過演變過程了解它們之間的區別和聯系，從而找出特殊與一般之間的關系。

編輯：謝穎麗