具有非局部項的熱方程的能控性

周秀香

(嶺南師范學院數學與統計學院,廣東湛江 524048)

1 引言

給定T>0,并設Q=(0,1)×(0,T).考慮如下具有非局部項的受控系統

其中a∈R是非零常數,b∈L2(0,1)是給定的函數,u∈L2(0,T)是控制函數且y0∈L2(0,1)是初始條件.這類控制稱為“雙線性”控制(參見文獻[1]).由Galerkin方法可知(參見文獻[2]),系統(1.1)存在唯一的解y∈L2(Q).

系統(1.1)主要描述含有關于時間的非局部反應項的一類擴散現象.這個模型在熱交換、人口動力學、核反應等領域有著廣泛的應用.因此關于系統(1.1)的能控性問題已經逐漸引起學者的廣泛關注.首先,我們一起回憶一下零能控的概念.

定義 1.1 系統(1.1)在時刻T是零能控的,是指對于任意y0∈L2(0,1),存在控制u∈L2(0,T)使得系統(1.1)相應的解滿足

當a=0時,系統(1.1)是經典的熱方程.眾所周知,無論施加內部控制還是邊界控制,這類方程都是零能控的(參見文獻[3]).當a≠0時,由于非局部項的存在,系統(1.1)施加內部控制和邊界控制都不是零能控的(參見文獻[4]).而本文討論的是施加雙線性控制后,系統(1.1)的零能控性.我們有如下結論.

本文分為四部分:第二部分給出與零能控等價的充要條件;第三部分給出定理1.1的證明,也就是證明與之等價的充要條件不成立;最后一部分是本文的總結,并指出進一步研究的問題.

2 引理

在證明定理1.1之前,給出零能控的一個等價命題.

引理2.1系統(1.1)在時刻T零能控的充要條件是

其中φ是下述對偶系統的解

證 方程(1.1)兩端同時乘以φ,再在Q上分部積分可得

因此存在控制u∈L2(0,T)使得y(x,T)=0,幾乎處處x∈(0,1)的充要條件是

結論得證.

3 定理1.1的證明

設 wj(x)=sin(jπx),λj=(jπ)2,?j∈ N.從而存在整數j0,使得設M>j0是一個充分大的整數.令

并且

其中

此時

記上式最后兩項分別為A1,A2.

其中

同文獻[5],有

并且

于是,由(3.2)式可得

另一方面,同文獻[5]可得

假設系統(1.1)在時刻T零能控,則由引理2.1可得

進而,由比較定理可得

由前面的討論可知,存在與M無關的兩個常數C1,C2使得

這對于充分大的M是矛盾的.故系統(1.1)不能零能控.證畢

4 結論

本文討論了在施加雙線性控制時,具有非局部項的熱方程不是零能控的.推廣了文獻[4]的結果.應當指出,這類問題還需要更加深入的研究,比如此類受控系統的能穩性問題.相信進一步地探究更有利于把結果應用到實際中.