《三角形面積》學習中學生的元認知及其分析

浙江寧波市鄞州區江東外國語小學　史　炯

在教學“三角形面積”這一內容時，筆者認為不能只局限于用“倍拼”法，學生的學習方法應該是多樣的，如“剪拼”“出入相補”法等。因此，筆者在上課時，特意為每個小組準備了各類三角形，然而學生還是以“倍拼”法為主，為此，筆者制定了2組前測題，以了解學生的學習起點。學生完成前測題1后，再下發前測題2，其目的在于防止學生因為方格紙的暗示，修改前測題1的結果。

前測題1：

（1）下面圖形的面積是指哪一部分呢？涂色表示。

（2）你們知道三角形面積的計算方法嗎？如果知道，請寫下來。

前測題2：

你們能不能用轉化的數學思想推導出三角形的面積計算方法？

①轉化：我將三角形轉化成____________。

②關系：三角形和轉化后圖形的面積有什么關系？

③三角形的面積公式是：

我的理由是：

測試結果：

前測題1能正確推導出公式的學生占了32.25%，前測題2能正確推導出公式的學生占了46.8%，前測題1中學生以“倍拼”法為主，而前測題2中不但出現了“倍拼”法，還出現了中位線分割的“出入相補”法，以及把三角形補成長方形的方法。

思考一：知道≠理解

兩組前測題中，學生都出現了把兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形的情況，再由平行四邊形的面積推理出三角形的面積計算方法。但在前測題1中，學生都只把三角形“倍拼”成平行四邊形，并無其他圖形。筆者猜想，在沒有方格圖輔助的情況下，學生的原始思維就是“拼”成平行四邊形。可能受到課本《平行四邊形面積》配套練習的影響（如下圖），禁錮了學生的思維。筆者還發現，前測題1中雖然有41.17%的學生知道三角形面積公式，但只有32.25%的學生能正確推導出三角形面積公式。顯然，一部分學生雖然在課外通過各種途徑知道三角形面積的計算方法，但只知其然，而不知其所以然。

思考二：“新方法”多了，方格紙是功臣

前測題2中不僅能推導出公式的學生多了，而且出現了“倍拼”成橫豎兩種長方形和“出入相補”的方法，這是非常令人欣喜的。通過與前測題1的對比中，筆者認為方格紙是這節課教學中不可缺少的輔助媒介。

基于上述分析與思考，筆者提出以下幾條教學建議，供同行借鑒。

一、找基石，促使每位學生獲得增量——精選學習素材

學習材料是數學學習的基石，它直接決定著課堂教學的效率，好的學習材料不僅能激發學生學習的欲望，而且能最大限度地開發學生學習潛力，拓展學生的思維深度與廣度，培養學生求異思維。

在本文開頭，筆者給學生提供的材料是比較全面的，有全等的三角形，有單個的三角形，為了降低思維難度，單個的三角形還帶有方格。為什么在素材如此之多的情況下，學生還是只想到“拼”一種方法呢？究其原因，是筆者忽視了學生都是一個個活生生的個體，是一個獨立的“人”，人最大的弱點就是——“惰性”。既然材料中有兩個一模一樣的三角形，學生肯定會選擇這種簡單的方法，也就不會再去思考另外的方法了。因為兩個一模一樣的三角形是“顯性”的，而單個的三角形雖然有方格紙的襯托，但相比而言，終究還是“隱性”的，這就是學生們“偷懶”的根源。而且，單個的三角形在剪拼以后，破壞了原圖，學生很難找到新舊圖形之間的聯系，這就是為什么在課堂上個別學生想出了“剪拼”的方法，卻無法推理出三角形面積的原因。

破除惰性，那就“逼”學生一把，可以提供帶有方格紙的學習材料，促使學生去尋找三角形的特點。有些學生能在方格紙中想象出一個平行四邊形，就出現了“倍拼”的方法；有些學生會利用方格紙去研究三角形本身的特征，就出現了“倍補”，即補成長方形的方法，抑或是“出入相補”的方法。通過前測題，筆者可以預見，這些方法學生不難想到，即使無法完成推理全過程，他們也能想辦法把三角形轉化成學過的圖形，并試圖尋找新舊圖形的聯系，一個小改變，趕走惰性，激發靈感，讓不同的學生在原有的基礎上都能有所發展。

二、搭腳手架，理順學習思路——有效利用導學單

核心素養中提出，要讓學生學會學習，要讓學生養成良好的學習習慣，能自主學習。毋庸置疑，導學單就是一個能幫助學生自主學習的腳手架。一份切合學情的導學單不但可以讓師生在教學過程中有據可循，而且可以幫助學生理順思路。

筆者在教學“三角形面積”這一課時，也曾利用過導學單：

但是效果卻不甚理想，除了推導方法單一，更糟糕的情況出現在第二問：轉化前后兩個圖形的聯系。由于指向性不明確，學生想到的聯系是五花八門的，有學生說：“轉化前后，周長變了，面積不變”；更多的學生在“等積變形”后，找不到底和高之間的聯系，即使是找到了聯系，卻無法與三角形的面積進行聯系。因此，這樣的導學單還無法達到“導”的目的。

從前測題中，筆者也發現了，很多學生會把三角形轉化成能求面積的圖形，但找不到聯系，尤其是“高”的聯系，那是因為“高”是隱性的，它隱藏在圖形里面。所以，設計導學單時，要為學生們創設一些階梯，如果學生能拾級而上，才能真正發揮“導”學的作用。改變后的導學單如下：

改變后的導學單，雖然開放度縮小了，但這是基于學生實際情況做出的調整。這些提示緊緊抓住了思維的關鍵之處，尤其能幫助學生理順在“等積變形”中底和高的變化關系。

三、理思路，善比較，挖掘知識內涵——深度對比“÷2”

“有比較才有鑒別”，把相似的問題放在一起找出區別與聯系，通過對比的方法可加深對概念的理解。所以，在教學中教師要善于運用對比的藝術，每次出現“÷2”時，若都能及時指導學生進行對比，對促進學生理解知識是非常有幫助的，并且在對比后若能及時梳理，可以讓學生清晰地認識到“÷2”的必要性。

例如，當學生由平行四邊形的面積計算方法推理出三角形面積計算方法時，教師可以追問：這里的除以2是什么意思？當學生通過“出入相補”法推導三角形面積公式時，再次追問：這里的“÷2”又是什么意思？還是平行四邊形面積的一半嗎？第三次追問可安排在對比兩種“出入相補”法處：這里都出現了“÷2”，它們所代表的意思一樣嗎？在小結時，可進行第四次追問：我們現在都知道三角形的面積是底×高÷2，為什么要“÷2”？并且對所有的“÷2”運算順序進行梳理。

通過這樣的梳理，既可以讓學生發現這些方法最終都是“殊途同歸”的，也可以讓學生直觀地看到，根據計算的需要，有時候底和高先乘再除以2，有時候可以先求底的一半再乘高，還可以先求高的一半再乘底。通過“數形結合”讓學生直觀地感悟到“÷2”的意義，而不是機械記憶。

通過分析前測題的數據，能讓教學者真正走進學生內心。有時候，停下來，聽聽學生到底在想什么，思考理論上的知識難點究竟是不是學生們真正的認知難點，這樣才能更好地幫助教師們“因材施教”，才能讓學生們學得輕松，真正做到樂學、善學。?