隨機Dirichlet-Hadamard乘積所表示的整函數的增長性

李云霞, 孔蔭瑩

(1. 楚雄師范學院 數學與統計學院, 云南 楚雄 675000; 2. 廣東財經大學 統計與數學學院, 廣東 廣州 510320)

1 引言及預備知識

文獻[1-10]介紹了一些關于整函數的系數、級和型的有趣結果.文獻[6]構造一個Dirichlet-Hadamard乘積,得到了它的q-級、下q-級、q-型和下q-型等一些結果.本文在文獻[1,6-7]的基礎上,討論更一般的隨機Dirichlet-Hadamard的乘積,獲得了隨機Dirichlet-Hadamard的乘積與Dirichlet-Hadamard的乘積表示的整函數幾乎必然(a.s.)有相同的收斂橫坐標、(下)q-級、(下)q-型、ρ[q]正規增長、完全ρ[q]正規增長等.最近有關Dirichlet級數及其推廣形式Laplace-Stieltjes變換的增長性的研究有一些新的進展,可參考文獻[11-18].

考慮輔助級數Dirichlet級數

(1)

其中,{an}?C,0<λn↑∞,s=σ+it(σ、t為實變量).另外,設級數(1)滿足

(2)

由條件(2)和Valiron公式[1],Dirichlet級數(1)的一致收斂橫坐標為-∞,則f(s)定義了一個全平面收斂的整函數.置

表示f(s)的最大模.另記:exp[0]x=ln[0]x=x;當k>1,exp[k]x=exp(exp[k-1]x);ln[k]x=ln(ln[k-1]x).

定義1.1Dirichlet級數q-級ρ和下q-級χ的定義如下:

(3)

定義1.2如果ρ∈(0,∞),Dirichlet級數(1)的q-型T與下q-型τ定義如下:

(4)

其中q=2,3,4,….

定義1.3如果ρ=χ,在全平面收斂的Dirichlet級數(1)稱為ρ[q]-正規增長;此外,如果τ=T,則(1)式稱為完全ρ[q]-正規增長.

(5)

其中,{an,j}?C,0<λn,j↑∞(j=1,2),μ和υ是正實數.

定義1.5設

構造隨機Dirichlet-Hadamard乘積如下:

cn(ω)=[an,1Xn(ω)]μ·[an,2Xn(ω)]υ,

(6)

其中,λn、λn,j和an,j(j=1,2)來自(5)式且滿足條件(2);{Xn(ω)}是概率空間(Ω,A,P)中的獨立復隨機變量列,μ和υ是正實數.

若F(s,ω)對某一ω∈Ω收斂,置

表示F(s,ω)的最大模.

文獻[6]總結了文獻[1,9-10]的結果,得到幾個有關Dirichlet級數的系數、(下)q-級和(下)q-型之間關系的定理.

定理1.1[6]設Dirichlet級數(1)是滿足條件(2)的整函數,其中ρ和T由(3)和(4)式定義,則

(7)

其中q=2,3….

定理1.2[6]設Dirichlet級數(1)是滿足條件(2)的整函數,其中χ由(3)式定義,則

(8)

(8)式中的等號成立當且僅當

(9)

為關于n的非減函數.

定理1.3[6]設Dirichlet級數(1)是滿足條件(2)的整函數,ρ和τ由(3)和(4)式定義,則

(10)

其中(10)式中的等號成立當且僅當(8)式為關于n的非減函數且ln[q-2]λn-1～ln[q-2]λn(n→∞).

2 隨機Dirichlet-Hadamard乘積的增長性

2.1相關引理

引理2.1[6]假設

為2個關于n的非減函數,且滿足

λn+1,2-λn,2=k(λn+1,1-λn,1),k>0,

(11)

引理2.2[6]設

分別具有q-級ρ1和ρ2的整函數.若λn,1～λn,2(n→∞),則Dirichlet-Hadamard乘積F(s)的q-級ρ滿足

(12)

引理2.3[6]設

分別具有下q-級χ1和χ2的整函數.若同時滿足條件λn,1～λn,2(n→∞)和(11)式,并且(9)式是關于n的非減函數,則Dirichlet-Hadamard乘積F(s)的下q-級滿足

(13)

引理2.4[6]設fj(s),j=1,2是2個ρ[q]-正規增長的整函數,若同時滿足引理2.3的條件,則:

(i) 由(5)式所定義的Dirichlet-Hadamard乘積F(s)也是ρ[q]-正規增長的,并且它的q-級滿足

(14)

(ii) 若ρ1,ρ2∈(0,+∞),則F(s)的q-型T滿足

(15)

引理2.5[6]設fj(s),j=1,2是2個完全ρ[q]-正規增長的整函數,若同時滿足引理2.3的條件和

ln[q-2]λn-1,j～ln[q-2]λn,j,

n→∞,j=1,2,

(16)

則F(s)也是完全ρ[q]-正規增長的,并且它的q-型T滿足

(17)

其中ρ滿足(14)式.

引理2.6[6]設fj(s),j=1,2是2個完全ρ[q]-正規增長的整函數,若同時滿足引理2.3的條件,則F(s)的下q-型τ滿足

其中ρ滿足(14)式.

引理2.7[1](i) 若{Xn(ω)}滿足:?α>0,

(18)

那么對ω∈Ωa.s.,?N1(ω),當n>N1(ω)時,

(19)

(ii) 若{Xn(ω)}滿足:?β>0,

(20)

那么對ω∈Ωa.s.,?N2(ω),當n>N2(ω)時,

(21)

(iii) 若{Xn(ω)}滿足(18)和(20)式,那么對ω∈Ωa.s.,?N(ω),當n>N(ω)時

n-k0≤|Xn(ω)|≤nk0,

(22)

2.2主要結論及證明由于fj(s)(j=1,2)滿足條件(2),則它們都在全平面收斂.此外當滿足條件λn,1～λn,2(n→∞),文獻[6]已經證明Dirichlet-Hadamard乘積F(s)也在全平面收斂.隨機Dirichlet-Hadamard乘積(6)是比Dirichlet-Hadamard乘積(5)更加一般的乘積.下面給出由(6)式表示的整函數的增長性.以下定理2.1至定理2.5中隨機Dirichlet-Hadamard乘積(6)中的{Xn(ω)}均是滿足引理2.7的條件.首先給出它的收斂橫坐標.

定理2.1設隨機Dirichlet-Hadamard乘積(6)滿足(2)式,且{Xn(ω)}滿足(18)式,那么

σc(ω)=σc=-∞,a.s.,

其中σc為(5)式的收斂橫坐標.

證明由定義1.5及引理2.7的(19)式得

ln|cn(ω)|=μ(ln|an,1|+ln|Xn(ω)|)+

ν(ln|an,2|+ln|Xn(ω)|)≤

所以,由Varliron公式

因此,σc(ω)=-∞,a.s..

下面給出隨機Dirichlet-Hadamard乘積表示的整函數的增長性定理的證明.

定理2.2設

分別具有q-級ρ1(ω)和ρ2(ω)的整函數.若λn,1～λn,2(n→∞),Xn(ω)滿足(18)和(20)式,則隨機Dirichlet-Hadamard乘積F(s,ω)的q-級ρ(ω)a.s.滿足:

ρ1(ω),ρ2(ω)∈[0,+∞).

(23)

證明分兩步證明:(i)由引理2.7的(22)式得

|an,j|n-k0≤|an,jXn(ω)|≤|an,j|nk0,a.s.,

從而

所以

故ρj(ω)=ρja.s.(j=1,2).

(ii) 由定理1.1有?ε>0,存在2個正整數N1、N2,當n>N=max{N1,N2}時有

根據(6)式中cn(ω)定義有

ln|cn(ω)|-1=μln|an,1Xn(ω)|-1+

υln|an,2Xn(ω)|-1>

則

由于λn,1～λn,2(n→∞),則有:

λn,1ln[q-1]λn,1～λn,2ln[q-1]λn,2～λnln[q-1]λn,

n→∞,q=2,3….

(24)

由ε的任意性得

定理2.2得證.

定理2.3設

分別具有下q-級χ1(ω)和χ2(ω)的整函數.若同時滿足條件λn,1～λn,2(n→∞)和(11)式,并且(9)式是關于n的非減函數,Xn(ω)滿足(18)和(20)式,則隨機Dirichlet-Hadamard乘積F(s,ω)的下q-級χ(ω) a.s.滿足

(25)

證明類似于定理2.2的(i)的證明,有χj(ω)=χja.s.,j=1,2,從而

?ε>0,存在正整數N,當n>N有

由條件λn,1～λn,2可知(24)式成立,類似定理2.2(ii)的證明,則

ln|cn(ω)|-1<(λnln[q-1]λn-1)(1+o(1))×

由于fj(s,ω)滿足(11)式,根據引理1.1,ψ(n)也是關于n的非減函數.因此(8)式中的等號對于乘積函數F(s,ω)也是成立的,再加上ε的任意性,則

故(25)式成立.

推論2.1設fj(s,ω)(j=1,2)滿足定理2.2和定理2.3的條件,且是2個ρ[q]-正規增長的整函數,則隨機Dirichlet-Hadamard乘積F(s,ω) a.s.是ρ[q]-正規增長的,并且它的q-級和下q-級a.s.分別滿足:

ρ1(ω),ρ2(ω)∈[0,+∞),

(26)

ρ1(ω),ρ2(ω)∈[0,+∞).

(27)

證明結合定理2.2和定理2.3的結論(23)和(25)式得

由于fj(s,ω)是2個ρ[q]-正規增長的整函數,則ρj(ω)=χj(ω),其中j=1,2,因此ρ(ω)=χ(ω)a.s.,所以,F(s,ω)a.s.是ρ[q]-正規增長的,且(26)及(27)式成立.

定理2.4設fj(s),j=1,2是2個分別具有ρ[q]的正規增長的整函數,且同時滿足引理2.4的條件,則隨機Dirichlet-Hadamard乘積F(s,ω)的q-型Ta.s.滿足

(28)

其中ρ滿足(14)式.

證明設F(s,ω)的q-型為T(ω),即由引理2.4知

其中ρ(ω)滿足(26)式.

又根據

|cn(ω)|=|an,1Xn(ω)|μ|an,2Xn(ω)|υ

和引理2.7

|an,j|n-k0≤|an,jXn(ω)|≤|an,j|nk0,a.s.,

可得

所以T(ω)=Ta.s.,即定理2.4的結論成立.

定理2.5設fj(s),j=1,2是2個完全ρ[q]-正規增長的整函數,若同時滿足引理2.3的條件和引理2.5的條件(16),則隨機Dirichlet-Hadamard乘積F(s,ω)的q-型Ta.s.滿足

(30)

下q-型τa.s.滿足

(31)

其中ρ滿足(14)式.

證明1) 隨機Dirichlet-Hadamard乘積F(s,ω)的q-型Ta.s.滿足(30)式,由引理2.5和引理2.7,類似于定理2.4的證明即可.

2) 設F(s,ω)的下q-型為τ(ω),則由引理2.6得

其中ρ(ω)滿足(26)式.

根據

|cn(ω)|=|an,1Xn(ω)|μ|an,2Xn(ω)|υ

和引理2.7

|an,j|n-k0≤|an,jXn(ω)|≤|an,j|nk0,a.s.,

可得

所以τ(ω)=τa.s.,則F(s,ω)的下q-型τa.s.滿足(31)式.

推論2.2在定理2.5的條件,則隨機Dirichlet-Hadamard乘積F(s,ω)是a.s.完全ρ[q]-正規增長的.

致謝楚雄師范學院校級科研項目(2012)對本文給予了資助,謹致謝意.

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