例談高中數學有效課堂一道解析幾何題的多種解法

摘要：高中數學課堂如何通過有限的授課時間激發學生學習的積極性，培養學生的數學素養，是高中數學課堂是否高效的一個重要標志，筆者通過一道解析幾何題的解法探究，充分挖掘了題目的各種解法，使得學生對橢圓的認識有了進一步地加深。

關鍵詞：高中數學；有效課堂；解析幾何；橢圓

問題的提出：已知橢圓x24+y23=1，F為左焦點，A，B，C為右、下、上定點，設M是BC上一點，射線MF交橢圓于點N，NF=λFM，求FM的取值范圍。

法一：設出M點坐標，利用向量式的等量關系，結合N點在橢圓上求解

設M（0，b），則FM=（1，b），

NF=λFM=（λ，λb），N（-1-λ，-bλ）

∵N在橢圓上，

∴（-1-λ）24+（-bλ）23=1

3（1+λ）2+4b2λ2-12=0

3+6λ+3λ2+4b2λ2-12=0

4b2λ2=-3λ2-6λ+9

b2=-3λ2-6λ+94λ2，b∈[-3，3]

b2∈[0，3]，則-3λ2-6λ+94λ2∈[0，3]

∴λ∈35，1

法二：設直線MN的斜率為k，結合k的范圍求解

△NFD∽△MFO，

∴DFFO=|-1-xN|1

由題意，直線MF的斜率一定存在，設為k，所以直線的方程為y=k（x+1）

由y=k（x+1）x24+y23=1得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0

x=-8k2±12k2+14k2+3（取負）

∴xN=-8k2-12k2+14k2+3

λ=NFFM=|-1-xN|=6k2+1-34k2+3

又k∈[-3，3]

令t=6k2+1-3∈[3，9]

∴λ=9tt2+6t=9t+6∈35，1

法三：綜合解法一和解法二，該種解法變量較多

設M（0，b），則kMA=b1=b

則lMN：y=b（x+1），設N（m，b（m+1））

代入橢圓可得m24+b2（m+1）23=1

整理可得：

3m2+4b2（m2+2m+1）=12

∴b2=12-3m24（m+12）

λ2=NF2FM2=（m+1）2+b2（m+1）2b2+1=（b2+1）（m+1）2b2+1=（m+1）2

又由y=3（x+1）x24+y23=1得x=0或x=-85

∴m∈-2，-85，λ2∈925，1

∵NF，FM方向相同，∴λ>0

∴λ∈35，1

法四：利用橢圓的第二定義解題

設點N到直線l的距離為d，

設∠MFO=θ，

SF=-c--a2c=a2c-c=3，θ∈-π3，π3

DF=NF·cosθ

d=SF-DF=3-NF·cosθ（1）

將e=NFd代入（1）式，得到

NFe=3-NF·cosθ

∴2NF=3-NF·cosθ

NF=32+cosθ

FM=FOcosθ=1cosθ

λ=|NF||FM|=32+cosθ1cosθ=32cosθ+1

∵θ∈-π3，π3，cosθ∈12，1

∴λ∈35，1

作者簡介：

周林，江蘇省高郵市，高郵市第二中學。