常微分方程課程中高階非齊次線性微分方程教學改革初探

摘要：常微分方程是數學專業學生的必修課程之一，具有推理嚴謹、公式復雜等特點，對培養學生的邏輯推理能力具有不可替代的作用。文章分析了高階非齊次線性微分方程課程中出現的幾道題目，為該課程的進一步教學改革提供了一點思考。

關鍵詞：線性代數；教學改革；嚴謹

作為大學數學專業基礎課程的常微分方程在整個數學大廈中占有重要的地位。教師在實際教學中，針對學生的解題能力不足，應注意將課程中提到的公式、定理仔細的進行講解，對于復雜的公式進行具體、細致的提醒，更要讓學生針對不同題型多加練習，使學生熟練掌握課程中出現的各種題目，從而達到舉一反三的效果。下面，我們以高階非齊次線性微分方程中出現的幾道題目舉例，來說明解題思路在教師授課過程中的重要作用。

例1設x-4x″+5x′-2x=2t+3，求該方程的通解。

分析：此題是學生學習了高階非齊次線性微分方程的右端函數為第一種形式后的題目。這類題目的一般思路為先求對應齊次方程的通解，再求出該方程的一個特解，最后將這兩個相加即為非齊次線性微分方程的通解。教師在講解此類題目時，應將此類題目的具體解題步驟介紹清楚，這樣學生就會有一個清晰的思路。若學生掌握了具體方法，相信學生能夠做出此題。

解：由題目可知對應齊次線性微分方程為x-4x″+5x′-2x=0，其特征方程為

r3-4r2+5r-2=0，

特征根為：r=1，2，其中1為二重根。因此齊次線性微分方程的通解為

x*=（c0+c1t）et+c2e2t。

下面再求原方程的一個特解。觀察題目發現右端函數中eλt里面的λ=0，因此不妨設原方程的一個特解形如x0=B0+B1t。將其代入原方程可得

5B1-2B0-2B1t=2t+3。

比較系數有B0=-4，B1=-1，則x0=-t-4。

因此原方程的通解為：x=x*+x0=（c0+c1t）et+c2e2t-t-4，其中c0，c1，c2為任意常數。

例2求方程

x″-2x′+2x=tetcost

的通解。

分析：此題是學生學習了高階非齊次線性微分方程的右端函數為第二種形式后的題目。思路與例1類似，但要注意的是右端函數的不同導致所求特解形式的不同，因此教師在課堂上一定要重點強調右端函數不同時所對應的特解也不一樣，讓學生明白之間的區別以便于計算。若學生明白了思路和具體的特解形式，相信學生能夠順利做出此題。

解：由題目可知對應齊次線性微分方程為x″-2x′+2x=0，其特征方程為

r2-2r+2=0，

特征根分別為：r=1±i，其對應的實值解為etcost和etsint，因此齊次線性微分方程的通解為

x*=c1etcost+c2etsint。

下面再求原方程的一個特解。設原方程的一個特解形如

x0=t（B0+B1t）etcost+t（C0+C1t）etsint，

將其代入原方程可得

2[（B1+C0+2C1t）cost+（C1-B0-2B1t）sint]et=tetcost。

比較系數有B0=C1=14，B1=C0=0，則x0=14tetcost+14t2etsint。

因此原方程的通解為：

x=x*+x0=（c1+14t）etcost+（c2+14t2）etsint，

其中c1，c2為任意常數。

例3求方程

x″+9x=6e3t，x（0）=x′（0）=0

的初值問題。

分析：此題是在前兩種類型題目基礎上的進一步擴展，該題不但要求出方程的通解，還要利用已知條件將通解中的參數確定出來才是最終的結果。因此，教師在課堂上在講解此類題目時，一定要讓學生徹底明白之前兩種類型題目應當如何計算，才能進一步拓展。甚至學生只要明白了前面兩種題型，那么此題也可以做出。

解：由題目可知對應齊次線性微分方程為x″+9x=0，其特征方程為

r2+9=0，

特征根分別為：r=±3i，其對應的實值解為cos3t和sin3t，因此齊次線性微分方程的通解為

x*=c1cos3t+c2sin3t。

下面再求原方程的一個特解。設原方程的一個特解形如

x0=Ae3t，

將其代入原方程可得

18Ae3t=6e3t。

比較系數有A=13，則x0=13e3t。

因此原方程的通解為：

x=x*+x0=c1cos3t+c2sin3t+13e3t，

其中c1，c2為任意常數。

又因為x（0）=x′（0）=0，所以有

c1+13=0

3c2+1=0

從而得出滿足初值問題的解為x=-13cos3t-13sin3t+13e3t

通過上面幾道例題的分析，我們可以看到對于高階非齊次線性微分方程這部分內容解題的一些重要技巧和方法，事實上都是建立在對兩類右端函數的具體運算的思路非常明確的基礎上進行的。這說明教師在課堂上對于此類問題的講解，一定要將解題的具體思路、方法講解透徹，同時還需要學生進行大量的練習，才能使學生達到較好的學習效果。

參考文獻：

[1]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：

趙侯宇，重慶市，重慶師范大學數學科學學院。