淺談對初中生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

韓清華

摘 要：初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有意識的通過教師的分析與引導(dǎo)，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，是非常重要的。本文以一道初三中考變形題的分解訓(xùn)練為例，說明在教師潛移默化的引導(dǎo)與滲透中達(dá)到對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)的意義。

關(guān)鍵詞：初中生；數(shù)學(xué)思維能力；培養(yǎng)；習(xí)題為例

思維最初是人腦借助于語言對客觀事物的概括和間接的反應(yīng)過程。它以感知為基礎(chǔ)又超越感知的界限。它探索與發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)部本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律性，是認(rèn)識過程的高級階段。

我國初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中都明確指出，思維能力主要是指：會觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理；會合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)；能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)。

著名教育家陶行知說：“生活、工作、學(xué)習(xí)倘使都能自動，則教育之收效定能事半功倍，所以我們特別注意自動力的培養(yǎng)，使它關(guān)注于全部的生活工作學(xué)習(xí)之中。自動是自覺地行動，而不是自發(fā)的行動。自覺的行動，需要適當(dāng)?shù)呐囵B(yǎng)而后可以實(shí)現(xiàn)。”加里寧曾說“數(shù)學(xué)是思維的體操”！贊可夫說，“教會學(xué)生思考，對學(xué)生來說，是人生中最有價(jià)值的本錢”。良好的思維習(xí)慣是一種非智力因素，是學(xué)生必備的素質(zhì)。初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有意識的通過數(shù)學(xué)例題的分析與引導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣是非常重要的。初中三年的數(shù)學(xué)教學(xué)對教師來說，不能只是完成教學(xué)任務(wù)，潛在的思維培養(yǎng)是需要前期規(guī)劃與設(shè)計(jì)的。這里就以一道初三中考變形題的分解訓(xùn)練為例，說明在教師潛移默化的引導(dǎo)與滲透中達(dá)到對動點(diǎn)問題的動中求靜、分類討論思想的培養(yǎng)。

例.如圖1，邊長為AB=6cm、AD=8cm的長方形ABCD，點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度沿折線ABD按A-B-D的路線運(yùn)動，點(diǎn)Q以8cm/s沿折線ADB按A-D-B的路線運(yùn)動，當(dāng)PQ兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們就停止運(yùn)動，設(shè)PQ從A點(diǎn)出發(fā)時(shí)間為t，ΔAPQ的面積為S，①在P、Q運(yùn)動過程中，是否存在PQ//AD？

若存在，請求出此時(shí)的t；若不存在，請說明理由；

②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍

③設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S0的值.

這是2013年呼和浩特市中考壓軸題的最后一問的一個變式。在我們常規(guī)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，這類習(xí)題的接觸與處理常常要安排在九年級的總復(fù)習(xí)中，特別是一輪基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)結(jié)束之后的綜合性訓(xùn)練與講解中進(jìn)行。對于還有2-3個月就要參加中考的學(xué)生來說，只有將各種知識整合，形成系統(tǒng)化的能力，同時(shí)對于數(shù)學(xué)各部分知識的結(jié)構(gòu)與解決辦法要有很深的融合，方可靈活快捷地應(yīng)對這些題目。這大概就是學(xué)生們對于數(shù)學(xué)中考中綜合性壓軸題望而卻步的原因了吧。

實(shí)際上對于這類問題，如果教師能夠運(yùn)籌帷幄：在七年級的教學(xué)中進(jìn)行分解設(shè)計(jì)，分步訓(xùn)練，形成相關(guān)知識結(jié)構(gòu)，分析結(jié)構(gòu)特征；到八年級進(jìn)行相關(guān)的結(jié)構(gòu)組裝，形成模塊，進(jìn)行有序思考；到了九年級就可以將模塊形成框架，以框架思考的方式謀篇布局，延伸遷移，形成學(xué)生能力應(yīng)該是水到渠成的了。

在七年級上學(xué)習(xí)了整式的基本概念和意義后我們就可以完成這樣的第一步分解動作。

分解1.邊長為6cm的正方形ABCD，點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)沿線段AB相向運(yùn)動，點(diǎn)P的運(yùn)動速度為1cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為2cm/s，當(dāng)一個到達(dá)線段端點(diǎn)后另一個也停止運(yùn)動。請用時(shí)間t表示PQ兩點(diǎn)間的距離.

通過學(xué)生的思考、交流、整合之后可以完成此題的整體思考，對這道題有了解決的辦法并很清晰它的數(shù)學(xué)道理后，教師就應(yīng)該和學(xué)生進(jìn)行共同的整理。

點(diǎn)P（1cm/s）：從A到B共需6秒，

點(diǎn)Q（1cm/s）：從B到A共需3秒.

由條件當(dāng)一個到達(dá)線段端點(diǎn)后另一個也停止運(yùn)動知t的取值范圍只能是0≤t≤3，而影響PQ間距離還有一個時(shí)間就是二者的相遇時(shí)間2s了即6÷（2+1）=2，這也就是行程問題中相遇問題（小學(xué)時(shí)學(xué)生很熟悉），所以分類的區(qū)間也就顯而易見了，0≤t≤2，2

當(dāng)0

當(dāng)2

在這里教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行習(xí)題條件分析，首先分析每一個動點(diǎn)的變化范圍，接著分析兩個動點(diǎn)的關(guān)聯(lián)時(shí)間點(diǎn)即相遇時(shí)間，就達(dá)到了對于分段區(qū)間的確定，接著畫出每一部分的線段圖就會很清晰明確了，那么表達(dá)線段PQ就迎刃而解了。

總結(jié)：通過這種類型習(xí)題的感受和學(xué)習(xí)，學(xué)生思維中會產(chǎn)生一種解決動點(diǎn)問題的思維方向和思考方法，同時(shí)形成學(xué)生表示線段的思維結(jié)構(gòu)，對于學(xué)生常常困惑和無助的分類區(qū)間不容易確定以及對于線段表示不準(zhǔn)確的問題，有很大的思維幫助，分類討論思想也就會有所感受。

到了八年級，學(xué)習(xí)完勾股定理之后，學(xué)生表達(dá)線段就會上一個新臺階，同時(shí)還可以繼續(xù)滲透分類討論思想，從而使學(xué)生的思維習(xí)慣得以強(qiáng)化，為九年級形成數(shù)學(xué)思維能力奠定基礎(chǔ)。

分解2.如圖2，邊長為6cm正方形ABCD，點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)從A

點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度沿折線ABD按A-B-D的路線運(yùn)動，點(diǎn)

Q以4cm/s沿折線ADB按A-D-B的路線運(yùn)動，當(dāng)PQ兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們

就停止運(yùn)動，設(shè)PQ從A點(diǎn)出發(fā)時(shí)間為t，請分析隨時(shí)間t的變化，線段PQ的運(yùn)動情況。

分析：首先單獨(dú)分析每一個動點(diǎn)的運(yùn)動的關(guān)鍵點(diǎn)和時(shí)間區(qū)間段（如下圖按照七年級學(xué)習(xí)過的分析方式）。

即：P：從點(diǎn)A到B需要63=2cm/s，從B到D需要22s.

Q：從點(diǎn)A到D需要64=1.5cm/s，從D到B需要624=322s.

其次，由條件當(dāng)PQ兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們就停止運(yùn)動，分析關(guān)聯(lián)點(diǎn)即點(diǎn)P、Q相遇的時(shí)間t=（6+6+62）÷（3+4）=12+627；說明點(diǎn)P、Q在線段BD上相遇。故時(shí)間t的分段就確定了。

當(dāng)0

當(dāng)1.5

點(diǎn)Q在線段BD上，PQ表示需要利用勾股定理可求，

此時(shí)DQ=4t-6，AH=QK=DQ2，PH=AP-AH=3t-4t-62，

QH=AD-DK=6-DQ2=6-4t-62，則PQ可以利用勾股定理求得了；

當(dāng)2

分解3如圖4，邊長為AB=6cm、AD=8cm的長方形ABCD，點(diǎn)P

點(diǎn)Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度沿折線ABD按A-B-D

的路線運(yùn)動，點(diǎn)Q以8cm/s沿折線ADB按A-D-B的路線運(yùn)動，當(dāng)

PQ兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們就停止運(yùn)動，設(shè)PQ從A點(diǎn)出發(fā)時(shí)間為t，請分

析隨時(shí)間t的變化，線段PQ的運(yùn)動情況。

首先單獨(dú)分析每一個動點(diǎn)的運(yùn)動的關(guān)鍵點(diǎn)和時(shí)間區(qū)間段，如下圖按照七年級學(xué)習(xí)過的分析方式。

即：P：從點(diǎn)A到B需要63=2cm/s，從B到D需要103s.

Q：從點(diǎn)A到D需要88=1cm/s，從D到B需要108=54s.

然后思考彼此的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，即當(dāng)PQ兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們就停止運(yùn)動，需要計(jì)算相遇時(shí)間，這樣就可以分出真正的時(shí)間范圍了。可以很容易分析出相遇時(shí)是簡單的相遇問題，則

t=（6+8+10）÷（3+8）=2411s.也就是說兩點(diǎn)運(yùn)動的過程可以清晰了，點(diǎn)P從A到B再到BD上某點(diǎn)與點(diǎn)Q相遇，點(diǎn)Q從A到D再到相遇點(diǎn)。所以，分為如下時(shí)間段：

當(dāng)0

當(dāng)1

DK=QK=AH=8t-82，QH=AK=AD-DK=8-8t-82，

PH=AP-AH=3t-8t-82，PQ=HP2+HQ2即可求。

當(dāng)2

由分解1、2、3可見原例題的難點(diǎn)已經(jīng)解決，對于動點(diǎn)問題的分類方法已經(jīng)成為學(xué)生隨心所欲解決的內(nèi)容了，也就是說，已經(jīng)是不是問題的問題了，后面的最值問題更是在表達(dá)式清晰的情況下顯而易見了。

學(xué)生的思維形成過程是需要思維轉(zhuǎn)換的空間和消化的時(shí)間的，體現(xiàn)了思維形成的漸進(jìn)性，這就需要一線教師認(rèn)真研究學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)內(nèi)容的相關(guān)性，合理構(gòu)造銜接點(diǎn)，建造學(xué)生的思維大廈的“腳手架”，從而使學(xué)生搭建適合于自己的思維框架、思維習(xí)慣，最終形成自己的思維能力。

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（作者單位：內(nèi)蒙古呼和浩特市第四中學(xué) 010020）