直觀中積累經(jīng)驗(yàn) 無(wú)形中涵養(yǎng)素養(yǎng)
——例談借助“幾何直觀”落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

江蘇揚(yáng)州市三元橋小學(xué) 李冬芳

新課程標(biāo)準(zhǔn)新增添了“幾何直觀”這個(gè)核心概念。關(guān)于“幾何直觀”，新課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為：幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象。史寧中教授認(rèn)為：幾何直觀是指借助于見(jiàn)到的（或想象出來(lái)的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。我國(guó)心理學(xué)家朱志賢認(rèn)為，小學(xué)生思維的基本特點(diǎn)是：從以具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主要形式，這時(shí)的抽象思維很大程度上仍有具體形象性。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要在內(nèi)容和形式的組織上進(jìn)行具象的支持，借助幾何直觀可使學(xué)生更有品質(zhì)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、借助“幾何直觀”支持概念表征

康德說(shuō)：人類(lèi)的一切知識(shí)都是從直觀開(kāi)始的，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束。教學(xué)中可以借助幾何直觀描述生活中紛繁復(fù)雜的問(wèn)題及事物之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀背后隱藏的抽象意義，并通過(guò)操作直觀圖形的經(jīng)驗(yàn)，抽象出相同的結(jié)構(gòu)形式，即數(shù)學(xué)概念。抽象和概括是密不可分的，是思維過(guò)程的核心。由于小學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的限制，他們的抽象概括能力還不強(qiáng)，對(duì)這一能力的培養(yǎng)需要遵循他們的認(rèn)知規(guī)律，由形象入手，逐層地抽象概括，獲得正確的概念表征。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè) “認(rèn)識(shí)幾分之一”，學(xué)生首先從分蛋糕入手，由問(wèn)題：一個(gè)蛋糕的一半可以用哪個(gè)數(shù)表示，過(guò)渡到用圓形代替蛋糕分出。然后，用自己喜歡的方法表示，當(dāng)學(xué)生用三角形、長(zhǎng)方形、正方形、圓形折出，有的甚至畫(huà)線(xiàn)段表示時(shí)，教師提出核心問(wèn)題：為什么同樣是卻會(huì)有這么多形狀、大小不一樣的方法？學(xué)生發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)概念的核心：都是表示把一個(gè)物體平均分成4份，表示其中的一份，就是。接著出示反例和正例，然后把其中一個(gè)正例圖形放大，放大后的圖形還能表示嗎？發(fā)現(xiàn)：圖形無(wú)論怎么放大和縮小，部分與整體的關(guān)系不變，還是表示。在自主操作中分?jǐn)?shù)的概念在具體、半具體、半抽象和抽象之間鋪排，從而獲得正確的概念表征。

上述教學(xué)中，教師在組織學(xué)生概括“分?jǐn)?shù)”這一數(shù)學(xué)概念時(shí)，就給學(xué)生提供了長(zhǎng)方形、正方形、圓形、三角形等豐富的感性材料，并且引導(dǎo)他們親自參與抽象概括的過(guò)程，借助“幾何直觀”在頭腦中抽象出分?jǐn)?shù)的概念表征，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述。這樣，學(xué)生頭腦中分?jǐn)?shù)概念的獲得就是有意義的，概念的保持會(huì)更加持久。

二、借助“幾何直觀”豐盈算理表述

計(jì)算教學(xué)中借助“幾何直觀”幫助學(xué)生理解算理，最常用的思想方法就是數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合可以把數(shù)字、圖形、算理自然溝通，使抽象的算理有了生命，變得直觀生動(dòng)。學(xué)生借助直觀圖形并越過(guò)圖形，學(xué)會(huì)用“圖形語(yǔ)言”來(lái)思考問(wèn)題，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，由此積累“幾何直觀”經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展直觀思維能力。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法豎式”，先讓學(xué)生在小方塊圖上涂一涂，分別表示個(gè)位2×14，十位上1×14的結(jié)果。 再剪一剪，按數(shù)位對(duì)齊擺放，說(shuō)一說(shuō)計(jì)算步驟。然后，借助課件演示平移、旋轉(zhuǎn)一個(gè)百和4個(gè)十，讓靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)動(dòng)態(tài)化，抽象的算理形象化、具體化。最后，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)算理。（如圖1）

圖1

上述教學(xué)中，通過(guò)涂一涂、剪一剪、說(shuō)一說(shuō)以及課件演示等多形式、多感官參與感知，運(yùn)用觀察、操作、演示等方法，把視覺(jué)、運(yùn)動(dòng)覺(jué)等協(xié)同起來(lái)充分感知，并滲入抽象思維成分，將抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換，將看不見(jiàn)的抽象算理變得直觀形象，直觀圖形與數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)換，豐盈了學(xué)生表述算理的經(jīng)驗(yàn)，從而解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題。

三、借助“幾何直觀”拓展解題思路

徐利治先生提出，幾何直觀是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。由此，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，對(duì)拓展解決問(wèn)題的思路有益。

如蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)第45頁(yè)思考題：兩個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形，重疊成右邊的圖形，你能算出這個(gè)圖形的周長(zhǎng)嗎？（如圖2）

圖2

學(xué)生用兩張長(zhǎng)方形紙重疊操作，發(fā)現(xiàn)重合了4條2厘米的寬，只要計(jì)算出兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，再減去重疊的部分。 得出解法一：5＋2=7（厘米），7×2=14（厘米），14×2=28 （厘米），2×4=8 （厘米），28-8=20（厘米）。畫(huà)出直觀圖，學(xué)生會(huì)把6條邊的長(zhǎng)加起來(lái)。得出解法二：5-2=3 （厘米），5＋2＋3＋3＋2＋5=20 （厘米）。如果平移兩條邊，圖形就轉(zhuǎn)化成規(guī)則的正方形，得出解法三：5×4=20（厘米）。 通過(guò)對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)在頭腦中把圖形動(dòng)起來(lái)的解法三，更巧妙、簡(jiǎn)潔。

在這個(gè)案例中，教會(huì)學(xué)生合理運(yùn)用直觀圖，分析題意時(shí)把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與形象的直觀圖形結(jié)合起來(lái)，加上想象，把圖形動(dòng)起來(lái)，抽象思維與形象思維相結(jié)合，思維超越圖形，逐漸靈動(dòng)起來(lái)，問(wèn)題便迎刃而解，且解法更簡(jiǎn)捷。

四、借助“幾何直觀”探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律

借助“幾何直觀”，學(xué)生會(huì)把自己觀察到的和學(xué)過(guò)的知識(shí)相互聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)思考、想象等思維活動(dòng)，猜出可能的結(jié)果和論證思路，這是合情推理。研究現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常需要把抽象的研究對(duì)象形象化，借助圖形把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、簡(jiǎn)單化和條理化，觀察、思考、分析之后，產(chǎn)生合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

如蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《和的奇偶性》一課，學(xué)生可以舉例子，計(jì)算發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)。但讓五年級(jí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和是奇數(shù)”這個(gè)規(guī)律，非常難，舉例計(jì)算歸納，耗時(shí)多，加之不完全歸納法的結(jié)果有時(shí)不一定正確。這時(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過(guò)演繹推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)生更信服。先把每?jī)蓚€(gè)小方塊圈起來(lái)，沒(méi)有剩余，表示是2的倍數(shù)，即偶數(shù)。發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)+奇數(shù)時(shí)，可以把剩下的一個(gè)小方塊移動(dòng)，和另一個(gè)奇數(shù)中剩下的合起來(lái)，正好也是2的倍數(shù)，結(jié)果還是偶數(shù)。通過(guò)第二次圈方塊，發(fā)現(xiàn)加數(shù)是偶數(shù)時(shí)，圈出的一定是偶數(shù)，中間無(wú)論加幾個(gè)偶數(shù)都與和的奇偶性沒(méi)有關(guān)系，可以把偶數(shù)劃去不考慮。因此，推理出和的奇偶性只與奇數(shù)個(gè)數(shù)有關(guān)。最后一次圈方塊，推理出：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和，圈剩下的小方塊的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和，圈剩下的小方塊的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)。發(fā)現(xiàn)：和的奇偶性取決于奇數(shù)的個(gè)數(shù)，“奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和一定是奇數(shù)”。m個(gè)奇數(shù)相加，當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)和一定是奇數(shù)，當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)和一定是偶數(shù)。（見(jiàn)圖3）

圖3

教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和接受往往是感到困難的。這當(dāng)中，常常需要圖式表象作為橋梁，發(fā)揮了圖形的中介作用，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形。學(xué)生腦中有了清晰的圖式表象，借助圖形推理，學(xué)生能順利地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。

在課堂教學(xué)中，學(xué)習(xí)活動(dòng)基于經(jīng)驗(yàn)而發(fā)生，不管是表征數(shù)學(xué)概念、豐盈計(jì)算算理、拓展解題思路還是探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律，“幾何直觀”的介入都是在為積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、滲透數(shù)學(xué)思想方法做準(zhǔn)備。學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中積累“幾何直觀”經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也會(huì)引發(fā)思維、行為甚至心理上穩(wěn)定而持久的變化，導(dǎo)致一種隱性的心理品質(zhì)的產(chǎn)生，這種隱性的心理品質(zhì)就是素養(yǎng)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的涵養(yǎng)是無(wú)形的，正如老子在《道德經(jīng)》中“大象無(wú)形”的說(shuō)法，是說(shuō)至美的形象已經(jīng)到了和自然融為一體的境界，沒(méi)有任何人工雕琢的痕跡，無(wú)法用語(yǔ)言描述，卻令人回味無(wú)窮，這也是學(xué)生體悟數(shù)學(xué)基本思想的最高境界。?

[1]史寧中.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]康德.純粹理性批判[M].鄧小芒，譯.陶祖德，校.北京：人民出版社，2004.

[3]徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（5）.