《平均數》教學重在探“理”尋“法”

李英婷

【摘要】本文提出以“平均數”的數理和算法為重點，尋找算法與算理的融合，挖掘平均數的本質特征，讓學生深入理解平均數的概念，掌握求平均數的方法。

【關鍵詞】《平均數》 數學本質 探理尋法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）03A-0099-02

“平均數”是分析數據的重要的工具，常用來對統計對象進行一般水平的描述，是一個居中位置的數據統計量。在“平均數”的教學中，學生很容易掌握“平均數”的計算方法，但是如何讓學生理解平均數的概念，培養學生數據分析的能力，才是教學的重點和難點。筆者在教學時主要從以下三點進行嘗試。

一、從兒童視角出發，探”平均”數理

對小學生來說，概念的習得需要經歷一個完整的過程，這個過程包括三個階段：弄清它是什么，怎么能夠學會，知道它怎么用（即理解本質，掌握方法，學會應用）。平均數的學習要突出“平均”這個概念的數理，讓學生把握本質所在。如，小強在50米跑中分別跑出了15秒、14秒、12秒、10秒和14秒的成績。在他填寫自己的成績時，他犯難了，到底該填幾秒呢？教學時，筆者通過三個層面進行引導，強化學生對“平均數”概念的理解。

（一）加強快慢對比，探求中間值

學生已經積累了關于快慢的經驗，筆者以這個經驗為抓手，引導學生從填寫極端數15秒入手，發現偏慢；填寫10秒，發現又偏快，進而引導學生尋找偏向中間值的不快不慢的數據13，這不僅是引導學生根據數據對比后分析得出的結果，更是幫助學生整合思維得到的結果。學生用自己對數據分析的不快不慢的這個經驗，找到了平均數概念的本質特征，也就是說，13這個數據能夠反映出這組數據中一個集中的趨勢，代表這組數據的一般水平。由此學生進一步理解了平均數的內涵：能夠代表這一組數據的基本特征。

（二）激活認知沖突，認識到平均數也可以是虛擬的數

在整個教學過程中，學生根據偏快和偏慢進行分析判斷，認為“不快不慢”的13秒，才是一個能夠體現小強真實水平的成績。但是13秒這個數據并沒有出現，讓學生產生了認知沖突。于是，筆者從不同層面引導學生思考這個數據出現的可能性。從學生認為“可能”到認為“可能性很大”，經歷了一個從現實到需求之間的沖突，由此學生發現，平均數也可以是一組數據中沒有出現的一個數。也就是說，平均數的另一個特征就是可以是一個虛擬的數。

（三）層層追問，讓學生體會“平均”的本質內涵

在帶領學生探尋“平均”的本質內涵的過程，就是一個不斷追問，讓學生不斷梳理的過程。從一開始的數據偏慢，到后來的偏快，最后到找出不快不慢的數據，整個過程筆者沒有給出明確的答案，而是不斷地追問，讓學生一點點理解，并用自己的體會來詮釋“平均”這個概念的本質屬性，從而建立了具有鮮明兒童表征的屬性——剛剛好。

二、以操作為核心，尋“算法”之根

在上一輪的討論中，學生根據預習，已經知道平均數的算法是將一組數據相加除以數據的個數得到。為此，筆者展開引導：有同學將五個數相加除以5，算出小強的平均成績是13秒。那么這個13和這一組數據有沒有關系呢？你能找出13藏在哪嗎？

筆者出示學具，讓學生在黑板上移動學具。（如下圖）

學生將一個14，一個12變成了兩個13；將15移了2個給10，再將14移1個給10，又變出了三個13，這樣就將這5個高高低低的數字拉平，變成了五個13。此時筆者又引導學生分析這五個數字。學生發現15最慢，10最快，12偏快，只有13不快不慢，剛剛好。筆者追問：仔細想一想，這個13有哪兩個特點呢？學生認為：一是沒有在數據中出現，二是它能夠代表小強的水平。筆者繼續追問：可是這個成績，小強沒有跑出來過，是怎么得到的呢？學生認為是通過以多補少勻出來的。至此，有學生提出：平均數不一定非要出現在一組數據中，它可以不出現，也可以出現。

求平均數的算法，對于三年級的學生來說并不復雜，但是對于平均數這個概念而言，不但要讓學生知道算法，還要知道為什么這樣算，這才是教學的難點，也就是要引導學生在算法上去尋根。

三、以鞏固為基礎，拓“運用”之道

學生理解并掌握了平均數的數理和算法后，筆者由淺入深，層層引導學生進入鞏固運用環節：7和8兩個數的平均數是多少？1、3、8這三個數的平均數是多少？你是怎么算出來的呢？在學生順利解答這幾個問題后，筆者展開拓展：一條河平均水深5米，請問這條河最深有幾米？為什么？學生認為最深可能會是7米，也可能是10米……此時筆者繼續追問：那如果把這條河修整一下，變成平均水深一米。小強身高一米，走過去安全嗎？學生認為不安全，雖然平均水深是一米，但最深的地方有可能會超過一米。

通過設計這樣的練習，引導學生理解平均數的“虛擬”特性。

總之，求平均數的教學并不是讓學生單純地掌握求平均數的算法，而是要讓學生根據已有經驗，探知平均數理，尋得算法之根，從而將已有經驗與所學新知有機結合，真正理解并掌握平均數這個概念。

（責編 林 劍）