狄利克雷積分的巧妙解法

沈明瑒 于倩 陶元紅

摘要：由于狄利克雷積分不能通過求出原函數的方法直接得出積分結果，本文探討前人運用其他學科知識的方法來快速巧妙地求解這個積分問題的方法，這些方法包括復變函數、概率論、拉普拉斯變換、數理方程、熱學、脈沖函數中的方法。

關鍵詞：狄利克雷積分；復變函數；拉普拉斯變換；傅氏積分

狄利克雷積分 是重要的數學積分，也是物理

學中有阻尼自由振動方程中常常用到的一個積分。本文將綜合整理已有文獻，詳細介紹7種運用其他學科知識求解積分的方法。第一部分為運用復變函數中留數的相關知識求解積分；第二部分為運用其他數學學科包括概率論、拉普拉斯變換和傅氏積分的方法求解問題；第三部分為運用有關熱傳導和脈沖函數的物理知識求解問題。

一、圍道積分法

求解狄利克雷積分最常用也是最簡單的就是復變函數中的圍道積分法，這種方法在鐘玉泉著的《復變函數論》[1]和余家榮著的《復變函數》[2]中均提及。1.1中的圍道積分法是最為普通的解法，1.2是劉光輝[3]研究的更為特殊的有關留數的圍道積分法。

1.1大圓弧定理

引理1[1]：（1）設函數 沿半圓周 上連續，且 在 上一致成立，則 。

（2）設 沿圓弧 上連續，且 于 上一致成立，則有 。

狄利克雷積分的計算分析：

由于 ，由柯西積分定理有 ，或寫成 ，由引理1知 ， ，令 ， ，則 ，所以 。

1.2留數定理

引理2當被積函數 是 的有理函數，且分母次數至少比分子次數高一次， 在實軸上除有限多個一級極點 處處解析，在上半平面 內除有限多個極點 外處處解析，則積分值 。

狄利克雷積分的計算分析：由引理2可知，計算 的虛部的 即可。

二、其他數學學科的方法

除了上文所述復變函數的方法外，我們還可以運用其他數學學科的知識。例如，2.1中所引用的概率論中分布函數與特征函數的有關定理，相關知識在王梓坤的《概率論基礎及應用》中已有涉及，李西和又在該基礎上延伸，得到了詳細的求解積分的方法。2.2也為李西和在文章中提到的運用簡單的拉普拉斯變換求解問題。2.3為劉光輝在姜尚禮《數理方程講義》的基礎上研究的滿足狄氏條件的傅氏積分法。

2.1分布函數與特征函數關系

引理3若 ， ，則廣義二重積分 存在，且 。

狄利克雷積分的計算分析：設 ， ，所以 ，而 ，對內層函數進行兩次分部積分：

，故 ，所以 。

2.2拉普拉斯方程

，即 ，當 時，即有 ，則 。

2.3傅氏積分

引理4若 在 上滿足條件：（1） 在任一有限區間上滿足狄氏條件，即 連續或只有有限個第一類間斷點，只有有限個極值點；（2）在無限區間 上絕對可積，即 ，則有 。

狄利克雷積分的計算分析：令 ，則 的傅氏積分為 ，可知 ， 時，有 。

三、結論

盡管運用基本的分析學思想是可以解決某些函數積分，但相比之下，復變函數的相關知識對于解決 就格外簡單，其他方法對于解決這個問題也有著出人意料的巧妙之處。所以，運用其他學科領域的知識可以對解決數學問題有事半功倍的效果，這說明在學習中我們一定要注重學科的交叉和知識的融會貫通。希望這篇綜合前人方法文章可以拋磚引玉，幫助大家解決積分上的問題，得到更多應用。

參考文獻：

[1]鐘玉泉.復變函數（第四版）高等教育出版社，2012.

[2]余家榮.復變函數（第四版）高等教育出版社，2007.

第一作者簡介：沈明瑒（1997--），女，本科生，數學與應用數學專業。

通訊作者簡介：陶元紅（1973--），女，博士，教授，主要從事泛函分析及應用方面的研究。