引導學生自然地習得數學概念

余建國

【關鍵詞】數學理解;簡潔;自然;教學設計

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2018）19-0043-03

筆者認為，數學概念、原理的產生和發展應該是合理的、自然的。數學教學宜通過教師的教學設計，有意識地引導學生領悟數學思想方法，促進其數學概念的自然生長。筆者結合自己的教學、觀課等實踐，例談在充分的數學理解基礎上改進數學概念教學的方法。

一、類比遷移，揭示內涵生成概念

數學的發展史表明，許多數學概念具有相似的屬性。類比策略在數學教學中之所以能起作用，主要是因為某些數學研究對象的本質存在相同或相似之處。對于這些概念的教學，教師可先引導學生研究已學過的概念屬性，然后進行類比遷移得到新概念。

[案例1]等比數列的定義和通項公式。

教師首先引導學生回顧等差數列的定義和符號表達式，并板書。然后提出下列問題。

判斷下列數列是否是等差數列：

（1）1，2，3，4，5，…;（2）-1，1，-1，1，-1，…;（3）a，a，a，a，a，…;（4）1，2，4，8，16，…;（5）1，1×（1+r），1×（1+r）2，1×（1+r）3，1×（1+r）4，…（r≠-1）。

學生一般會準確回答出（1）（3）是，（2）（4）（5）不是。

教師擦去數列（1）（3），再次拋出問題：數列（2）（4）（5）有什么特點（規律）呢？

有了熟悉的概念作鋪墊，學生很快找到“比是同一個常數”的特點。此時，教師再讓數列（3）顯現，學生中有的說符合這個特點，有的說不符合，互相爭論后統一了看法：當a≠0時也符合。于是，等比數列概念的生成水到渠成。

接下來教師只要在原來的板書上稍作改動即可進入下一個環節——推導通項公式。仍然可以采用列表類比的方法。

教師可以稍作提示：在等差數列中，an=a1+（n-1）d=a1+d+d+…+d，這里共有（n-1）個d相加，那么與“+”對應的運算是什么？請同學們猜想等比數列的通項公式并給出推導過程。

在教學了等差數列的定義、通項和性質的后，再讓學生通過類比學習等比數列的定義、通項和性質，既可以使學生明確等比數列的學習方向和研究方法，又可以使數列知識系統化，有利于數列知識體系的構建。教學中創設聯系已有相似概念的情境，引導學生利用類比方法獲得新發現，并嘗試給新概念下定義，這種做法順理成章，學生易于接受。

二、遵循認知，揭示規律生成概念

奇偶性是函數的重要性質。但為什么一些函數叫“偶”函數，而另一些函數叫“奇”函數的問題，即便在學生學完本概念后仍舊會盤旋在一些學生的腦海中。江蘇省特級教師陶維林的教學值得我們學習。

[案例2]函數的奇偶性。[1]

陶老師在教學中設計了下面3個問題。

問題1 畫一畫下列函數的圖象：y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x4。請你談談對這些圖象的感受。

問題2 對于關于y軸（或原點）對稱的圖象，我們反思一下剛才的列表，有何規律？

問題3 用圖形計算器畫出下列函數的圖象：y=x5，y=x-2，y=x-3，y=x6，y=x7，給這些圖象分分類？分類依據又是什么？

對這3個問題的解答，就是一個感受、發現函數數量關系和圖形特征的過程。學生不難發現，一類冪指數為偶數的，圖象關于y軸對稱，很自然地就被叫作“偶函數”;另一類冪指數是奇數的，圖象關于原點對稱，也很自然地就被叫作“奇函數”。這樣，奇偶函數概念的由來就清晰明了了。雖然這樣的教學僅僅在冪函數范疇內做了研究，并沒有給出嚴謹的定義，但這樣的做法讓學生對奇偶函數有了更多的感性認識。接下來根據列表畫圖的規律，抓住自變量互為相反數時，其函數值相等或互為相反數的特征，學生就能自主地給奇偶函數下嚴格的定義。可見，只要教師遵循認知規律，在“最近發展區”設計恰當的問題情境，教學中就能促進概念的自然生成。

三、暗藏玄機，展示聯系生成概念

有效的教學是引導學生、激發學生自己去學習，幫助學生通過自己的思考建立起對數學的理解力，構建和發展數學概念，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。

[案例3]平面向量的基本定理。

在學習這個定理之前，學生已經學習了“共線向量定理”：共線的向量有無數多個，在“選定一個非零向量a”的前提下，其他向量b均可用a唯一表示，即存在唯一的實數λ，使得b=λa成立。這樣，共線的所有向量的運算都可以轉化為向量a的運算。基于此，提出下列問題。

問題1 如圖1，向量b能否用向量a表示？為什么？

學生會直觀地看出，因為向量a、b不符合共線定理的條件，所以不能表示。也就是說，不與向量a共線的向量是不能用來表示向量a的。一個向量“不夠用”，那兩個向量呢？

問題2 如圖2，向量b能否用向量a和向量c表示？為什么？

學生同樣會發現，由于向量a和向量c共線，事實上仍然不能表示向量b。由此可見，必須選擇兩個不共線的向量才行。

問題3 如圖3，將向量b用向量a和向量c線性表示出來。

問題4 任意向量m都可以用向量a和向量c（a與c不共線）線性表示嗎？

對這個問題，學生的意見出現了分歧，有的說，零向量不能;有的說，與向量c平行的不能;還有的說，當m

問題5 如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意向量a，a=λ1e1+λ2e2的表示法是唯一的嗎？

如果學生回答不唯一，那么教師可以借助“反證法”利用共線定理，說明其唯一性。當然，實際教學中，教師可以通過幾何畫板課件，直觀地演示“任意性”和“唯一性”。

我們可以看到，在這個“引入”案例中，共線定理與基本定理是兩條問題線，它們時而交匯，時而發散，在聯系中完成新知識的構建。同時，學生理解了“平面向量基本定理”，也可以深化對“共線向量定理”的認識。

四、實驗操作，探究分析生成概念

無論是通過教具，還是利用信息技術，數學實驗都能改變學生的數學觀念和數學學習方式。在數學實驗中，讓學生在觀察、操作、探索、發現、歸納、概括等活動中完成數學概念的形成和發展，建構和完善。

[案例4]雙曲線的漸近線。

圓和橢圓沒有漸近線，到了雙曲線怎么就“冒出”漸近線呢？根據兩個實點、兩個虛點，先畫出對應的矩形，再畫矩形的對角線，“看看這兩條線，它跟雙曲線有什么關系？”——這么教筆者總覺得不妥，一是結論直接告知，二是學生失去了很好的探究機會。有了幾何畫板，我們可以這樣探究：

有學生發現，在第一象限雙曲線向右上方無限伸展，且曲線逐漸“越來越直”。用什么方法體現這種“越來越”？學生思考后發現兩種方法，一是將畫圖的定義域擴大，二是在幾何畫板中將“單位長1”拖小，呈現如圖4。教師追問，這條線的方程是什么？

如果沒有反比例函數的圖象特征作為“最近發展區”，漸近線的“自然生成”是非常困難的。要實現這類數學概念的自然生成，一定要學生動手操作實驗，培養學生的觀察力和數學表達能力。除了真實的實驗外，教師還可以充分利用現代教育技術（如圖形計算器、幾何畫板等）設計一些實驗，讓學生通過實際操作學會觀察、學會發現。

人民教育出版社編審章建躍老師常說，“課堂教學中，‘自然的過程來源于數學知識發生、發展過程和學生認知過程的融合，具體表現為對數學概念、原理的不斷歸納和概括的過程。”[2]因此，教師首先要充分地理解數學，挖掘數學概念和原理形成過程中所蘊含的數學思想，在教學設計中，以問題為載體，通過設計有效的活動，將凝結在數學概念中的數學思維活動打開，引導學生展開學習，使數學知識的“生成”更自然，更合理。

【參考文獻】

[1]陶維林.“函數的奇偶性”該怎么教[J].中小學數學：高中版，2013（11）.

[2]章建躍.課堂教學的兩個關鍵[J].中小學數學：高中版，2008（10）.