高中數學排列組合解題技巧探究

高冀驍

在高中數學當中，排列組合就是其中需要學習并掌握的重要知識點。其中，排列組合問題也對解決數學概率計算中所遇到的難點有著關鍵性作用。有許多的排列組合在表面上看起來通俗易懂，但是在實際的應用當中，排列組合問題運用于非常廣闊的實際當中，并具有靈活多變的特點，并且所能涉及到各種各樣的題型，讓我們學生在進行學習的時候難以掌握其中的規律。隨著排列組合問題在近些年的高考當中被考中的概率越來越高，所占的分數值比重也是逐年上漲，因此為了能夠讓我們知道如何運用方法進行正確的解題思路，提升在學習當中的解題能力，本文就專門針對排列組合問題的答題技巧進行了分析。

1 通曉透徹辨析排列組合的意義

要想將排列組合的考試題在最短的時間內用最簡單的方法做出正確答案，就要求我們能夠就其中排列組合的不同做出正確的區分，必須要知道使用哪種解題思路才能得出正確答案。

要知道，所謂的排列，具體指的是從一定的元素當中拿出其中特定的元素數目來進行相關排序并且組合卻是一定元素中所拿出的特定的元素數目，這是不需要對其順序進行考慮的。排列組合當中的關鍵點就是根據題目所列出的要求，按照要求進行排列組合即可，最終得到可能會出現情況的數目。排列是有順序的，但是組合是沒有順序的。所以當我們在進行解題的時候，要先分清楚題目到底是哪一種情況，這也是解題當中的關鍵前提，如果連這點都弄不明白的話，那么這個題目的正確答案就將無法被尋找出來。

2 排列組合當中的解題類型以及具體解題方法

2.1捆綁型-捆綁法

如果在土木當中會出現要求把幾種元素按照相關要求將它們放在一起的時候，；那么這就屬于捆綁型的題目類型。這個時候就能夠直接采捆綁法對題目進行解析。具體的做法是把要求一直都在一起的幾個重新組合成一個新元素，并將在將這個新元素和其他的元素一同根據題目的具體要求進行排列組合。在一些時候，也要注意針對這個新元素的內部進行排列組合，出現這種情況，就要根據題目的具體要求進行具體分析具體論證。例如，某個班級當中的4名男生和2名女生組成一個排，女生就必須被要求排列在一起，在這樣的情況下那么會有多少種排法，這也是針對一個隊伍排列導向的問題，排隊的時候也是要對前后次序進行考慮的。又是因為其中的關鍵條件是女生必須要被排在一起，所以可以將女生當作例外，意思就是說，將兩個女生看作是同一種元素，然會在和5個男生進行排列，所以經過計算也就產生了A66種排列方法。而且女生內部有A22種排列方法，所以總共就會產生A66A22=1440種各不相同的方法。

2.2不相鄰型-插空法

所謂插空法，具體指的是針對那些題目要求，其中最少有兩個元素是不能相鄰的問題的解析方法。在對這種不相鄰問題進行解析的時候，我們首先需要做的就是將沒有任何條件限制的元素進行排列，然后再將題目限制條件的元素拿著順序穿插到那些沒有條件限制的元素當中。在此就舉一個簡單的例子，例如一個公司要進行合影紀念拍照，要求一排總共是站成12個人，其中8人是公司普通員工，4人是公司部門經理、現在就要求經理必須要站在職員中間，并且經理和經理還不能挨著站，要求計算出總共能夠有多少種的站隊方法。這個例子就是典型的不相鄰問題的具體論證。要對這個難題加以解決，這個時候就可以采用插空法來進行對應解題。首先來說，通過分析可以得出，在這個問題上，并沒有針對職員的站法有任何的限制，所以就可以先對這8名員工進行排列，通過得到A88種站隊的方法，然后再將請外被條件與所限制的經理安插在員工里面。要注意，此刻的員工之間共同有7個位置可以讓4個經理任意的穿插站列進去，那么就有A47種站法，所以在這些總共加起來就有A88A47種的站法。

2.3插班法

一些排列組合的問題相對來說比較抽象，我們在對這些問題進行具體解決的時候需要耗費大量的時間進行摸索。此刻我們就可以將思路進行轉變，換一種角度其考慮問題的解決途徑，可以化繁為簡，將復雜的問題簡單化。

舉例說明，某年級的高三總共有8個班級組成，學校要進行一個10人研討會，要求每個班級最少都得派出一名學生進行參加，如果照這樣進行計算，會有多少種分配方法。要是對這道題目進行直接考慮，就會讓人有種瞬間摸不著頭腦的感覺。但是這個時候，如果能夠把這個問題的思維方式來回的進行一下轉變，就會讓人瞬間尋找到最好的解決途徑，豁然開朗。在對這個問題進行考慮的時候，首先可以將10個球分成8份，要求得出有多少種分法，如此一來就會將問題變得簡單得多。可以將這10個黑球按照順序排成一整排，在9個空蛋黃里面穿插進7個模板，那么最終下來就會得出C79種的解題方法。

2.4正難測反法

在面對一些排列組合問題的時候，可以先順著題目所描述的思路進行分析往往會產生比較困難的情況，但是如果從反面的情況進行分析的時候就會發現題目反而會變得很簡單一些。那么我們在做這一類題型的時候就，就可以先在它的反面進行考慮，先找到在解題過程中不需要對限制條件進行考慮的方法數，再將其中那些不符合相關條件的方法數從中減去，得到了的就是最準確的正確答案。舉例說明，將3.4.5.6這四個數字組合成一個沒有重復數字并且其中2.3是不相鄰的四位數，要求出對于這個四位數的排列到底有多少種方法。在這里我們就先不對其他限制性條件進行考慮就可以得到2.3.4.5這四個數字能夠組成其中沒有重復數字的方法經過精準計算總共是有24種。在這24種四位數當中，2.3的位置順序只有兩種情況，即相鄰和不相鄰。因此但凡是所有2.3相鄰的情況都是和相關要求不符合的。并且我們還可以得出這樣的四位數總共是有12個，那么這總共24種方法里，減去上述的這些，剩下的就是完全符合條件的四位數。也可以這么說，總共有24-12=12種滿足要求的四位數。

2.5定序問題

在對排列組合問題進行解答的時候，通常還會出現一些條件，要求某個事物要排列在另外一個或者是多個事物的前面，并通過對其中一部分順序的確定來增加題目的解題難度。要解決這類問題，通常情況下分好幾次進行一步一步的解答。例如，將五個人站在一起排成一排，要求1號站在2號的前面，4號要站在5號的前面，然后讓得出這種排序的方法有多少種。要對這個題目進行解決，第一步要做的就是將其他條件忽視掉并求出五個人排成一排總共是有A55種的排列方法。在對1號和2號的情況進行考慮得出排列方法有2種，4號和5號的排列方法有2種，所以說總共就有30種符合排列的方法。

總之，在我們平常所學到的排列組合問題的解題方法，它們之間其實都是有共通性的，并不是一個問題只能用一種特定的解題方法。針對其中一些比較復雜難度系數大的題型，可以采取多種方法相互合作的形式才能解決。排列合租也是高中數學學習階段的一個重要知識點，因為題型比較復雜多變，解題的思路也并不是一蹴而就的，這就需要我們作為學生在對這些問題進行解題的時候，首先要做的就是具體現象具體分析具體解決，只要認真總結學習難點，就會發現其實這些難題里面也是有著共通點和技巧的。只要我們通過學習掌握了其中的解題思路和技巧，那么在做到一些比較復雜的排列組合問題的時候，自然也就手到擒來，迎刃而解了。

（作者單位：易縣中學）