基于逆向思維培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的若干思考

摘 要：作為基礎(chǔ)學(xué)科的大學(xué)數(shù)學(xué)其教育意義包含兩個(gè)方面。一方面是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。在信息迅猛發(fā)展的如今數(shù)學(xué)思維的發(fā)展顯得更為重要。本文主要通過(guò)微分中值定理的教學(xué)設(shè)計(jì)闡述了逆向思維的重要性和基于逆向思維培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的具體方法。

關(guān)鍵詞：逆向思維；數(shù)學(xué)思維；創(chuàng)新思維

逆向思維就是從反方向思考，并找出解決問(wèn)題方法的一種思維方式。在高等數(shù)學(xué)中，有不少內(nèi)容都可以利用逆向思維。

一、逆向思維在高等數(shù)學(xué)中的重要性（以微分中值定理的證明為例）

在證明拉格朗日中值定理的教學(xué)中一般根據(jù)幾何圖形先給出一個(gè)輔助函數(shù)，學(xué)生對(duì)輔助函數(shù)的引入感到疑惑、不易理解，不知怎么找解題突破口。這里可以用逆推法來(lái)證明拉格朗日中值定理。方法如下：

總之，利用倒推的方法建立輔助函數(shù)，學(xué)生就感到容易接受多了。又由C的任意性可以推出輔助函數(shù)不是唯一的，且不同的輔助函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)。同理可以推出柯西中值定理。逆推法是從分析每一個(gè)結(jié)論的必要條件開(kāi)始，步步倒推，直至說(shuō)明題目給出的條件恰好符合要求為止。實(shí)際是把證明反過(guò)來(lái)分析。

二、逆向思維在其他數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用

（一）逆向思維在線性代數(shù)中的應(yīng)用

線性代數(shù)雖然是基礎(chǔ)性課程，但因?yàn)槠湔n程內(nèi)容、定義、定理及公式等都過(guò)于抽象，所以要求授課教師要多多采用不同的切實(shí)有效的方法進(jìn)行課堂教學(xué)。利用不同的思維方式，在線性代數(shù)的教學(xué)中能收到不一樣的效果，尤其是逆向思維能力的運(yùn)用，能使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)知識(shí)的理解更加深刻、透徹。

例如：在向量組相關(guān)性教學(xué)中，由于概念間的互相關(guān)系復(fù)雜，定理也很多，很難一下就理解并記住。可以根據(jù)向量組線性相關(guān)的充要條件，利用逆否命題推出向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件。另外，在矩陣和線性方程組教學(xué)中利用逆向思維教學(xué)方法，可以達(dá)到化難為易的目的。

（二）逆向思維在概率論中的應(yīng)用

概率論主要研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，有些題直接計(jì)算難度大，甚至解不出來(lái)，這時(shí)利用逆向思維的方法可以將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，所以在教學(xué)過(guò)程中教師要有意識(shí)地引入逆推法，加強(qiáng)知識(shí)間的橫向聯(lián)系和縱向加深，提高學(xué)生舉一反三的能力，進(jìn)而提高其數(shù)學(xué)思維能力。

例如：計(jì)算較復(fù)雜的隨機(jī)事件的概率時(shí)，可以從對(duì)立事件入手，再利用對(duì)立事件概率公式求得。

三、基于逆向思維培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的方法（以高等數(shù)學(xué)為例）

（一）利用命題的可逆性培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、不定積分、定積分等存在密切的聯(lián)系，解題時(shí)學(xué)生們往往欠缺相應(yīng)的逆向思考。要培養(yǎng)學(xué)生這種逆向思維的能力，必須從掌握命題的同時(shí)了解它們的逆命題入手，有針對(duì)性地進(jìn)行訓(xùn)練。

例如：講收斂數(shù)列的有界性時(shí)討論逆命題“有界數(shù)列必收斂”是否成立？并舉出反例說(shuō)明。如：數(shù)列（-1）n雖然有界，但不收斂。

顯然在點(diǎn)0和1的任一領(lǐng)域內(nèi)都有xn的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，但該數(shù)列的極限不存在。通過(guò)反例使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)列極限的概念。

四、結(jié)語(yǔ)

基于逆向思維不僅能快速找到解決問(wèn)題的突破口、化難為易，而且能夠幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)、擴(kuò)展視野、引出新的解題方法，從而可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。逆向思維不僅在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方面起重要的作用，而且在日常生活的方方面面都可以利用它來(lái)解決疑難問(wèn)題。總之，在創(chuàng)造發(fā)明的路上，更需要逆向思維，逆向思維可以創(chuàng)造出許多意想不到的人間奇跡。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：金惠蘭（1969-），女，朝鮮族，吉林琿春人，碩士，講師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究，研究方向?yàn)橐话阃負(fù)淇臻g。