淺談高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的活躍性探究

江鴻杰　毋曉迪

高等代數(shù)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)必備科目之一，它是初等代數(shù)的延伸。其中，高等代數(shù)的一些思想、方法和理論觀點(diǎn)都可以運(yùn)用到中學(xué)數(shù)學(xué)中來(lái)解題；從知識(shí)方面和思想方面來(lái)講，高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系是緊密的，可以將高等代數(shù)中淺顯的知識(shí)點(diǎn)直接運(yùn)用到中學(xué)數(shù)學(xué)中，起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的，例如多項(xiàng)式的理論應(yīng)用與矩陣等，本文筆者將從幾道典例來(lái)淺析高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)聯(lián)系。

運(yùn)用高等代數(shù)的視角去剖析高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系是很有必要的策略，進(jìn)而能使學(xué)生以中學(xué)式思維方式向高等數(shù)學(xué)思維方式轉(zhuǎn)變。作為教師，應(yīng)該熟知中學(xué)教學(xué)的所有內(nèi)容，能利用高等數(shù)學(xué)的一些觀點(diǎn)灌輸給學(xué)生一些思想和方法，進(jìn)而能促進(jìn)知識(shí)的深化。

1 高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在知識(shí)方面的聯(lián)系

1.1 行列式的應(yīng)用

雖然矩陣與變換為人教版新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)課本選修模塊系列中，但是，對(duì)于一些典型的問(wèn)題，在許多考試中有著命題基礎(chǔ)，例如求函數(shù)的解析式，因式分解等等，筆者就給出一道例題，已知函數(shù) ，滿足 ， ， ， ，求 .

分析 由已知條件得 把上式看成關(guān)于 ， ， ， 的方程組，它的系數(shù)行列式為范德蒙行列式 ，由行列式與線性方程組的理論，可得 ， ， ， ，即

.

1.2 柯西不等式的應(yīng)用

在歐氏空間 里，取 ， 時(shí)，就有

柯西不等式：對(duì)任意實(shí)數(shù)組 和 ，有

.

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式的等號(hào)成立，特別的， 時(shí)，有 .

例 已知 為 內(nèi)一點(diǎn)， ， ， ，點(diǎn) 到 的三邊 ， ， 的距離分別為 ， ， .求證： .

證明 由題意知 ，要證明結(jié)論成立，只需證

，由柯西不等式得，上式顯然成立，所以 .

1.3 二次型的應(yīng)用

定理 設(shè) 元二次型 ，則 在條件 下的大（小）值恰為矩陣 的最大（小）特征值.

例 設(shè) ，且滿足 ，求 的最大值與最小值.

分析：二次型 的矩陣 ，則 ，

解得 ， ，于是由以上定理可得， 在 下的最大值為 ，最小值 .

2 教學(xué)啟示

現(xiàn)階段中學(xué)教師很少在課堂教學(xué)上涉及到高等數(shù)學(xué)的知識(shí)和觀點(diǎn)，這些教師在認(rèn)知上存在一些誤區(qū)，比如認(rèn)為高等數(shù)學(xué)的知識(shí)用不到中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，而中學(xué)數(shù)學(xué)的程度抽象化是無(wú)法與高等代數(shù)相比擬的。而高等代數(shù)卻能幫助我們更加淺顯的理解其中的本質(zhì)。比如通過(guò)向量的加法和數(shù)乘的觀點(diǎn)，可以將平面向量向空間向量抽象化，同事，也可以通過(guò)將內(nèi)積與實(shí)數(shù)域上的向量空間相結(jié)合，就成功的抽象出了歐氏空間。

現(xiàn)階段中學(xué)數(shù)學(xué)主要是應(yīng)用于教育，最重要的是能解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，比如，面積、體積無(wú)法適用于更加復(fù)雜的問(wèn)題。相比之下高等代數(shù)除了有教育功能之外，其在應(yīng)用上更勝于中學(xué)數(shù)學(xué)。

（作者單位：廣西民族大學(xué)理學(xué)院）