兩個簡單問題與直線的參數方程

蘇克義

[摘 要] 從兩個簡單問題出發，著眼于學生的認知過程，引導學生自然而輕松地學習直線的參數方程.

[關鍵詞] 直線；參數方程

問題1：已知直線l的參數方程為

？搖？搖？搖？搖？搖？搖l：x=1+■t，y=2+■t.

圓O的直角坐標方程為：x2+y2=2， 求直線和圓的兩交點A，B之間的距離和線段AB中點M的坐標.

問題2：已知直線l的參數方程為

？搖？搖？搖？搖？搖？搖l：x=1+t，y=2+t，

圓O的直角坐標方程為：x2+y2=2， 求直線和圓的兩交點A，B之間的距離和線段AB中點M的坐標.

對問題1，學生甲首先想到的思路是，把l的參數方程轉化為直角坐標方程：y=x+1，然后代入圓O的直角坐標方程，得2x2+2x-1=0，解得兩交點的坐標為

A-■-■，■-■， B-■+■，■+■，

AB=■，M-■，■.

問題2和問題1的結果完全相同.

學生乙認為AB可以用弦長公式計算.

x1+x2=-1，x1x2=-■，

AB=■■=■■=■.

學生丙認為AB可以用勾股定理計算.

圓心O到直線l的距離

d=■=■，

則

AB=2■=2·■=■.

學生丁認為直接用直線的參數方程可以求解.

問題1的求解：將直線l的參數方程代入圓O的直角坐標方程得

1+■t■+2+■t■=2，

即

t2+3■t+3=0，

則

？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 t1+t2=-3■，t1t2=3，

所以

AB=t1-t2=■=■.

線段AB中點M對應的t為

t=■=-■，

所以

x=1+■×-■=-■，y=2+■×-■=■，

所以M的坐標為：M-■，■.

問題2的求解：將直線l的參數方程代入圓O的直角坐標方程得

（1+t）2+（2+t）2=2，

即

2t2+6t+3=0，

則

t1+t2=-3，t1t2=■，

所以

AB=t1-t2=■=■.

線段AB中點M對應的t為

t=■=-■，

所以

x=1+-■=-■，y=2+-■=■，

所以M的坐標為：M-■，■.

上述解法對問題2中AB的計算出現了錯誤.

■引發的思考

直線的參數方程不唯一，有無數種，可劃分為標準形式和一般形式.

1. 標準形式

過點M（x0，y0）且傾斜角為α的直線的標準形式參數方程為

x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，（t為參數）

在標準形式之下，t對應直線上的點P（x，y），t1對應A點，t2對應B點，則PM=t，AB=t1-t2，線段AB的中點對應的t=■.

（2） 一般形式

x=x0+at，y=y0+bt，（t為參數且a2+b2≠1）

可以將一般形式化為標準形式

x=x0+■t′，y=y0+■t′，（t′為參數）

其中t′=■×t.

設t′對應直……