有理可依的放縮法

金晶

[摘 要] 能求和的數列和式中的項具備著自身的特征，如等差數列、等比數列、差比數列、周期數列等. 不能求和的數列和式的項不具備這些特征. 我們以這些特征為轉化目標，以學過的知識為橋梁，逐項放縮，從而證明數列不等式成立.

[關鍵詞] 數列放縮法；放縮適度；放縮原理；有法可依

放縮法證明數列不等式是數列中的難點，它題型靈活多變，技巧性高，使學生們望而生畏.

放縮法針對的題型是不能直接求和，需要通過逐項放縮才能求和的和式不等式. 放縮法解題的難點是放縮的技巧，常出現的問題是放縮過度. 前面的問題可以通過一些典型例題的解答模仿放縮技巧、探究放縮原理，從而做到以不變應萬變. 后面的問題有兩個解決方案：修改放縮方法；保持一部分項不放縮.

■轉化為能拆項相消求和的和式

例1 證明：1+■+■…+■<2.

解法1：因為■<■，n≥2，

所以1+■+■…+■<1+■+■+…+■=1+1-■+■-■+…+■-■=1+1-■<2.

解法2：因為■<■=■，n≥2，

所以1+■+■…+■<■+■+■+…+■

=4■1-■+■■-■+■■-■+…+■■-■=21-■<2.

同理：利用■→■=■-■，配合個別項不放縮，都可以證明原式.其中，由a的值決定 “→”表示“<”還是“>”.

如：由■<■=■=3■-■，

若從第一項開始放縮得

所以1+■+■…+■<31-■+■-■+■-■+…+■-■=31-■

則不能得到要證的結果. 若保持第一項不放縮，從第二項起開始放縮，得

1+■+■…+■<1+3■-■+■-■+…+■-■

=1+3■-■=■-■<■<2，所以原式成立.

類似的還有：

立方型 1+■+■…+■

放縮方法■→■=■■-■，

其中，由a的值決定 “→”表示“<”還是“>”.

根式型 ？搖1+■+■…+■

放縮方法2（■-■）=■<■=■<■=2（■-■）.

指數冪加常數的分式型？搖 ■+■+■…+■

放縮方法■=■→■=■■-■，其中ab≠0且a≠1，根據b的符號決定“→”表示“<”還是“>”.

例如 求證：■+■+■+…+■<■.

分析：第一項不放，否則放縮過度.

解：因為■=■<■=■■-■，

所以■+■+■+…+■<■+■■-■+■-■+…+■-■=■+■■-■=■-■·■<■.

■轉化為能用公式求和的和式

例2 （1）證明：■+■+■+…+■<1.

證：因為■<■，

所以■+■+■+…+■<■+■+■+…+■=■=1-■<1.

（2）證明：■+■+■+…+■<2.

證：因為■=■≤■=■■，

所以■+■+■+…+■≤1+■+■■+…+■■=■=21-■<2.

（3）證明：■+■+■+…+■+<■.

證：因為■=■≤■=■■，

所以■+■+■+…+■≤1+■+■■+…+■■=■=■1-■<■.

（4）證……