對課本中一道習題的深入探究

廖中山

[摘 要] 課本是最具權威的學習資料，課本上例題都有很高的研究價值，對例題和習題的探究與思考，會達到舉一反三的效果，比盲目的題海戰術更有效. 文章對人教A版必修5第二章章末練習的一道習題進行了深入研究，并給出了形如an+1=pan+qan-1（n≥2）的遞推公式求通項公式的一般解法.

[關鍵詞] 數列；遞推公式；特征根法

■習題再現

（人教A版必修5第二章章末第6題）

已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），對于這個數列的通項公式做研究，能否寫出它的通項公式？

解析：題干給出的是常系數二階齊次線性遞推形式的遞推公式，求這個數列的通項公式. 表面上對這道題看起來好像束手無策，因為學生只學過由一階遞推公式求通項公式的方法，但此題是二階的形式，沒有現成的解法. 但是利用“化歸與轉化”的數學思想，自然想到這個二階的問題能不能轉化成一階的形式呢？注意到這個遞推公式的相鄰三項的系數都相差1，利用整體代換的思路很容易想到以下解法.

解法一：考慮在an=2an-1+3an-2兩邊同時加上an-1，便可以得到an+an-1=3（an-1+an-2），

利用整體思維，令bn=an+an-1（n≥3），那么bn-1=an-1+an-2，所以就可以得到bn=3bn-1（n≥3），這樣就實現了“降階”，顯然很容易就可以求出{bn}的通項公式為：bn=7×3n-2（n≥2），進而an+an-1=7×3n-2（n≥2）. 這是常見的一階遞推公式求通項公式的形式，在an+an-1=7×3n-2（n≥2）兩邊同時除以3n，得到：■+■·■=■. 顯然，再做一次代換：■=cn（n≥2），得到cn+■·cn-1=■（n≥2），這是最基本的一階常系數線性遞推的形式，利用公式可求得：cn=■-■■+■（n∈N*），注意■=cn（n≥2），

可得an=3ncn，所以可以得到：a■=■·[7×3n-1+13×（-1）n-1]（n∈N*）.

這種解法中間做了3次代換，利用“化歸”的思想一步一步降階，把未知的形式轉換成……