論一道好題的知識匯聚力和發散力

沈雪清

[摘 要] 向量是浙江高考中非常重要的內容，由于題目靈活，知識跨度大，是學生非常頭痛的題型. 但是只要認真總結，還是可以找到這類題型的主要解題思路和解法. 事實上，對于向量問題只要從代數角度和幾何角度兩方面切入，再結合向量的概念和幾何意義，總能找到破解之法.

[關鍵詞] 向量；代數思想；幾何思想；結合應用

[案例] 已知向量a，b滿足a-b=a+3b=2，求a的取值范圍.

此題總體難度不高，學生初見它時會覺得眼熟親切，與平時所練的向量題大同小異，但是當翻出海量的向量儲備知識后，發現搞定它并不輕松. 本文從代數和幾何兩條主線切入分析，挖掘了多種解法，并適當拓展、變式、類比，達到了全方位復習向量知識的目的，將向量知識體系中的各個要點一一展現，展現了此題的獨特魅力.

■代數思想

解1（絕對值不等式法）：一方面：3a-3b=6，a+3b=2，

所以3a-3b+a+3b≥（3a-3b）+（a+3b）=4a，

即8≥4a，a≤2. 當且僅當a-b與a+3b同向共線時取等號.

另一方面：3b-3a=6，a+3b=2，

所以3b-3a-a+3b≤（3b-3a）-（a+3b）=-4a，

即4≤4a，a≥1.

點評：絕對值不等式和向量的完美結合，成就了此題的完美解法. 知識跨越度較大，學生較難想到這種處理方法.

解2（換元法）：令m=a-b，n=a+3b，則a=■n+■m，b=■n-■m，

且m=2，n=2.

所以a2=■n+■m■=■n2+■n·m+■m2=■+■cosθ∈[1，4].

即：1≤a≤2.

點評：引用了反解法的思想，換位思考，角度獨特，有種“在向量中又跳出向量的圈子”的感覺，非常漂亮地處理了這個問題，并且此法可以同時解決下列問題：

（1）求b的取值范圍；

（2）求xa-yb（x，y∈R）的取值范圍；

（3）已知x1a+y1b=m，x2a+y2b=n，求a，b取值范圍.

■幾何思想

解3（構造圓的軌跡）：由a-b=a+3b=2，可得動點G的軌跡是圓，所以P的軌跡也是圓，圓心■，0，半徑r=■，所以POmin=■-■=1，此時a，b反向共線，POmax=■+■=2，此時b=0.

點評：構造……