兩個三角競賽題的解法探究

唐志忠

[摘 要] 利用“加零”法完成兩個三角競賽試題的解答，并通過一般形式的研究，總結出解決此類問題的一般方法.

[關鍵詞] 兩個三角競賽題；另解；一般形式；“加零”法

■題目呈現

題1：已知α為銳角，求證：■+■≥8.

題2：設x∈0，■，求函數y=■+■的最小值.

題1是2010年第五屆聯盟杯數學競賽試題的第9題，命題組給出的答案是利用導數進行證明. 文獻1作者是通過構造與■+■般配的因式來加以證明，并得出了此類問題的推廣. 題2是2007年全國數學競賽湖北預賽試題的第10題，命題組給出的標準答案是通過引入待定正常數，運用含參均值不等式進行解答. 文獻2的作者則是利用柯西不等式給出了這個問題的簡解，過程盡管較為簡潔，但技巧性較強，學生難以掌握.

■試題另解

題1的證明：利用sin2α+cos2α=1，將所求代數式加上一個零元，則

■+■=■+■+λ（sin2α+cos2α-1） =■+■+λsin2α+■+■+λcos2α-λ

≥3■+3■-λ =3■+3■-λ=12■-λ，

當且僅當λsin2α=■，λcos2α=■時不等式取等號，

再由sin2α+cos2α=1，得λ=4，則■+■≥8.

題2的解答：利用sin2x+cos2x=1，將所求函數加上一個零元，則

y=■+■+λ（sin2x+cos2x-1）=■+λsin2x+■+■+λcos2x-λ≥2■+3■-λ=15■+3■-λ，

當且僅當■=λsin2x，■=λcos2x時，不等式取等號.

再由sin2x+cos2x=1，得■+■=1？圯λ=64，因此可得y=■+■的最小值為68.

■問題延伸？搖

以上兩個三角競賽試題都是通過“加零”法來完成的. 下面，我們再用此法來解答文[1]所給出的此類問題一般形式的一個結論：

命題？搖f（α）=■+■a，b>0，0<α<■的最小值為（■+■）■.

證明：？搖f（α）=■+■+λ（sin2α+cos2α-1）

=■+■+λsin2α+■+■+λcos2α-λ

≥3■+3■-λ

=3■+3■-λ=3■■·（■+■）λ■-λ，當且僅當λsin2α=■，λcos2α=■時不等式取等號，則

sin3α=■，cos3α=■ ？圯sin2α=■■，cos2α=■■，？圯2λ=（a■+b■）■？圯λ=■，

則3■■（■+■）λ■-λ=（■+■）■，因此，命題得證.

從以上解題過程可以看出，此類問題，都可以通過加上一個合適的“零元”，利用均值不等式來完成做答. 其解題模式確定，程序規范，便于操作且具有普適性，值得我們加以研究并掌握.

參考文獻：

[1] 余小芬，劉成龍. 一……