數學教學中初中生幾何直觀的培養

黃梓怡

【摘要】學生在初中階段從小學的直觀、操作性數學學習轉向理性思維、演繹推理、證明性學習，因此數學課程中應當注意培養和發展學生的數學幾何直觀能力，在動手畫圖中感知幾何直觀，在分析圖形中培養幾何直觀，利用數形結合解答數學題時應用幾何直觀思想，從而幫助學生擴寬數學思維，解決學生在數學學習時遇到的困難。

【關鍵詞】幾何直觀 畫圖 數形結合

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）11-0135-02

引言

幾何直觀是數學新課程標準里十大核心概念之一，幾何直觀通俗講就是將復雜的數學問題利用圖形描繪、分析而使其變得簡單、形象，數學的精髓在于數學知識中所蘊含的數學思想方法，通過“以形助數”和“以數輔形”，幾何直觀思想可以有助于學生直觀地理解數學，在小學階段學生的思維水平離不開具體事物的支持，數學問題具體化，問題就容易理解。那么中學階段學生思維慢慢向形式化階段靠攏，用數學抽象思維代替數學直觀，就需要培養和發展學生的幾何直觀。因此幾何直觀在整個數學中也有著重要的作用和廣泛的應用。

一、繪畫圖形，感知幾何直觀

布魯納關于兒童智力發展的研究表明，兒童的認知發展需要經歷三個發展階段：動作認知（操作水平）、圖形認知（表象水平）和符號認知（分析水平）。在小學階段中學生對數學知識的理解往往通過實物觀察，而步入初中階段對學生的數學思維要求就更高。不管是教科書中的例題出現還是思想方法的運用，都體現出幾何直觀的思維之重要。教師在課堂上要充分挖掘教學精髓，敢于發展學生的空間想象能力，敢于畫出對習題理解所得到的圖形，引導學生把看似復雜的語言文字用簡單明了的數學圖形或者符號表示出來，這樣問題與條件關系就可以理清，問題就能迎刃而解。

例如（2017陜西西安三十九中，13）學生在學習平行四邊形的應用時，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=4， ∠DAB=60°，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，過點O作OE⊥DC，垂足為E，則求OE的長度？這道題學生在沒有圖形的情況下是無法理解題意從而進行解答，教師要提示學生運用數學工具畫出圖形，在繪畫圖形的的過程中不單單是純粹的畫圖，也是一種加深理解題意的方式。

在直觀圖的支撐下，教師引導學生觀察直觀圖，想求出OE的長度就要轉化到三角形中，那么在三角形DOC中無法找到相應的條件去解決問題，通過引導回憶平行四邊形的性質可以得到延長EO交AB于點F，這時EF就是平行四邊形的高，求OE，就轉換成求平行四邊形的高，如圖所示：

而已知條件給出∠DAB=60°，求平行四邊形的高就接著轉化成過點D的高，這樣已知AD=4，∠DAB=60°數形結合可以得出DG的長，從而可以求出OE的長度。學生通過自己的動手繪圖在解決問題時有一個更清晰的思路，學生在學習時看圖形比讀文字更快速獲取已知條件，使學生真切體驗到運用幾何直觀的方便快捷。對幾何直觀有了最基本的認識，初步體驗到幾何直觀在解題中的應用。

二、分析圖形，培養幾何直觀

新課標提出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀，可以把復雜的數學問題，變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”當學生學會根據題意畫圖后還遠遠不夠，還需要學生學會識圖、讀圖、分析圖，對題中出現的已知信息進行自我組合，結合圖形找準對應的數量關系，從而順利解答題目。

例如（2017黑龍江哈爾濱，20）如圖在矩形ABCD中，M為BC邊上的一點，連接AM，過點D作DE⊥AM，垂足為E，若DE=DC=1，AE=2EM，則BM的長是多少？題中給出圖形和已知條件這時需要學生獨立思考分析圖形由已知條件能否創造條件去解決問題。

師：題中要求求出BM的長度？而給出的條件是，DE=DC=1，AE=2EM，那么通過這些條件可以得到什么？（學生這時候一般情況下得不到什么結論）這時老師繼續引導畫一條輔助線，連接DM。

生（觀察這條輔助線）：可以得到EM=CM，因為∠DEM=90°，∠DCM=90°，DE=DC=1，△DEM和△DCM全等，得出EM

=CM。

師：僅僅找到的CM數量關系是不夠的，能否找到的CB數量關系？

生1：BC=AD轉化成求AD的長度。

生2：用方程思想設未知數表達CB的數量關系。

師：同學們的這些想法都非常好，能不能大家討論一下看怎么結合方程思想去表示出CB或者AD？

經過一番討論后老師跟著學生的思路假設CM=EM=x，這時可以根據題中已知條件寫出AE=2x，從而通過勾股定理表達出AD2=1+4x2。這時候同學們會發現依靠這一個式子解不出未知數的值，需要繼續尋找相關等量關系，老師提示學生觀察圖形AD和BM分別在△AED和△MBA中，是不是可以證明這兩個三角形全等或者相似呢？學生經過提示證明出這兩個三角形全等，因此MA=AD=3x，因此得出AD2=1+4x2=9x2，從而解出方程得到BM的長度。

解答問題過程中單單看文字經常是無從下手，訓練學生畫出圖形以后數形結合，根據圖形里所隱藏的豐富的數學信息，更準確的找出每一個數量關系。既可以為學生的獨立動手能力打下基礎，又可以快速理清題目的數學思路。學生的幾何直觀培養和訓練是一個過程，不能急于求成，當學生解題遇到瓶頸，教師應當有意識的引導學生運用繪圖輔助解題。

三、數形相輔，發展幾何直觀

數學的語言表達抽象而又復雜，當數學的抽象用直觀明了的幾何圖形表達出來，那么學生在解題道路上越走越輕松，有了數與形的相輔相成，相互轉化，數學可以突破理解題意的難點，培養出更寬闊的數學思維，有助于學生一題多解、一題多變，通過圖形的變化，培養其創造精神和豐富的空間想象能力。

例如（2015重慶巴南，12）矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，反比例函數y=■在第一象限內的圖像經過點D，且分別交AB、BC于E、F兩點，若四邊形BEDF的面積為6，則k的值是多少？

在圖形的輔助下，教師適當地加以啟發，從問題入手用逆向思想尋找已知條件，問題是求k的值，也就是要求反比例函數，由圖像觀察發現反比例函數上有三個點分別是點F、D、E，求出這三個點的坐標也就可以得出反比例函數的表達式了。在已知條件中給出點D是OB的中點，那么教師在這個地方要提問學生點D的坐標和點A坐標、點B坐標都有什么關系？學生會靠攏老師提問的方向去思考這些點的坐標關系，于是點D在反比例函數圖像上可以得出假設點Dm， ，那么隨之就可以寫出點，點A（2m， 0），同時我們也可以看出點F和點C的縱坐標相等，點E和點A的橫坐標相等，帶入反比例函數解析式即可寫出這兩點坐標，即，回到題干中剩下一個條件沒有用上，四邊形的面積再次通過圖形觀察出是由△FDB和△BDE的面積和構成，轉化成求兩個三角形的面積，三角形上的點之間的距離可以得出三角形的底邊和高，從而構成一個含有m和k的方程，即=6求出了k的取值。

這道題同樣體現了圖形的重要性，復雜的運算推理通過直角坐標系的建立變得清晰簡潔，這種簡單的數學模型的構建跳出了題目本身的繁雜，讓問題迎刃而解。

總結

作為數學教師應當在熟知數學教材的同時，對教材編寫者的良苦用心有基本的了解，將幾何直觀的思維有意識地引導、潛移默化地滲透進學生的腦海里。讓學生逐漸形成幾何直觀的意識和能力，用幾何直觀地思想方法對數學的一題多變、一題多解中的靈活性有更強的解決能力，真正做到舉一反三、事半功倍。充分調動學生對于數學學習的積極性，給數學教學帶來更好的效果。

參考文獻：

[1]李碧霞.論數學教學中小學生幾何直觀的培養[J].福建教育學院學報.2014.

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[3]伯拉斯基.中學數學幾何教學法[M].人民教育出版社，1954.