在折紙中透徹理解數學概念

裘陸勤

數學教材中的每個數學知識和數學概念都是由數學家們經過長期的發現、推理和證明而來的。隨著學生年齡的增長和認知經驗的積累，他們學習的數學知識和數學概念由易到難，由簡到繁，整體水平成螺旋上升趨勢。

為了讓中低段學生在數學課堂上像數學家那樣經歷數學知識和數學概念的形成過程，我充分利用簡單且有觸摸感的紙，帶領他們在思維碰撞中動手折出數學知識，透徹理解數學概念，感悟數學思想方法。

一、在折紙中觀察角的形成，理解角的數學本質

在《數學辭海》中對角有兩種定義：角的靜態定義是指具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角；角的動態定義是指一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角。

為了讓學生更加全面地理解角的數學本質，我在教學人教版二年級上冊《角的初步認識》一課時，先借助漢聲繪本《折紙的幾何》，讓學生用一張紙折出直角、銳角和鈍角，直觀地理解角的靜態定義；再利用剪刀等“動態角”生活素材幫助學生理解角的大小與兩條邊張開的大小有關，有助于學生比較角的大小。

師：同學們，這節課讓我們跟著數學繪本《折紙的幾何》一起來折一折。請你準備好一張紙，把這張紙隨便折一次，你會折出一條直線。注意，不要把折好的紙打開。接著，把這條折線對折一次。（學生邊折紙邊觀察）看看你會折出什么？是不是折出一個角？

生：這個角是一個直角。

師：請你仔細觀察這個直角模型，你發現了什么？

生：這個直角最頂端的一點是“頂點”，還有直直的兩條邊。

師：用你折的直角模型，去跟我們身邊的東西比一比，看看哪些是直角？

生1：我發現時鐘上有直角，時針指著3，分針指著12，3時就是直角。

生2：我發現我們數學課本的這個角落、黑板的這個角落、門和窗的角落都有直角。

生3：我發現剪刀正好張開像這樣的時候就是直角了。（借助手勢比劃介紹）

師：鐘面上的3時、數學課本角落、黑板角落、門和窗的角落、剪刀張開的時候，它們的兩條邊有長有短，為什么它們都是直角呢？

生：它們的兩條邊雖然不一樣長，但是兩條邊張開的大小是一樣的，所以都是直角。

在這個教學片斷中，我借助折一張紙不僅讓學生更加直觀地看到了各種不同大小的角，還促使他們借助手中的實物角作為參照物去比對生活中的角。在學生尋找同類角的過程中，我又進一步引導他們思考“為什么這些角都是直角”，從而觸摸到“角的大小與邊的長度無關，與兩條邊張開的大小有關”這一數學本質。

二、在折紙中認識軸對稱圖形，提煉軸對稱的數學定義

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：學生在數學學習中應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。我在數學課堂上為了體現《課程標準》的教學理念，在教學人教版二年級下冊《認識軸對稱圖形》一課時，先通過欣賞一組生活中的對稱現象自然地引出軸對稱圖形，再組織學生借助一張紙折一折、畫一畫、剪一剪、說一說等活動創造出一些軸對稱圖形，加深學生對軸對稱圖形的直觀印象。

師：同學們，剛才我們欣賞了樹葉、蝴蝶、天安門等圖片，這些都是對稱的。接下來，我們要借助手中的這張紙自己來創造一個軸對稱圖形，你會怎么做？

生1：我會先把這張紙對折，然后在紙的其中一面畫上半棵樹，再用剪刀剪下這半棵樹，展開就變成一棵完整的樹了。而且這棵樹的左右兩邊完全一樣。

生2：我想剪一顆愛心。先把這張紙對折，再在對折后的紙上畫半顆愛心，剪下半顆愛心后，打開就變成一顆愛心了。

生3：我想剪1個小人，首先把這張紙對折，再在對折后的紙上畫半個小人，剪下這半個小人后展開就變成1個小人了，對折后又變成半個小人了。

師：大家真棒，有想法后就開始動手折一折、畫一畫、剪一剪吧，看看你剪出來的是什么圖形？

（全班同學開始動手驗證自己的猜想，并和同伴交流自己剪出的圖形）

師：成功的同學請高高地舉起剪好的圖形來。像這樣剪出來的圖形都是對稱的，它們都是軸對稱圖形，中間的線叫做對稱軸。剛才我們剪出了1個小人，如果老師想要剪2個手拉手的小人，你會怎么折和怎么剪？

生4：我會把一張紙對折，再在對折后的紙上畫一個完整的小人，還要注意手這里不能斷開，剪下這個完整的小人后展開就變成2個手拉手的小人了。

生5：我還有辦法，只要畫半個小人就可以了。我把這張紙對折兩次，就是對折后再對折，然后在對折后的紙上畫半個小人，剪下展開后就變成2個手拉手的小人了。

在這個教學片斷中，我帶領學生從對稱現象中領略數學美，從折和剪中提煉軸對稱圖形的數學定義。引導學生嘗試剪從1個小人到2個手拉手的小人，再到4個手拉手的小人，既能讓學生思考和運用軸對稱圖形的數學定義，又是培養學生動手能力的有效時機。

三、在折紙中折出不同分數，拓寬分數的數學內涵

選擇用折紙來認識分數的目的在于紙不僅易準備、易操作、易觀察，還在于折紙能更好地幫助學生理解分數的數學內涵、直觀地比較分數的大小。在教學人教版三年級上冊《認識幾分之一》一課時，先從學生熟悉的整數的平均分入手，再引出平均分時每份不到“1”我們應該如何表示，從而介紹分數中的幾分之一。在這樣的教學過程中幫助學生體驗分數產生的必要性，實現數域的拓展，為后續深入學習分數和小數知識奠定基礎。

師：同學們，把4張紙平均分給2個小朋友，每人分到幾張？（2張）把2張紙平均分給2個小朋友，每人分到幾張？（1張）把1張紙平均分給2個小朋友，每人分到幾張？

生：半張。

師：你能在自己的紙上折出來嗎？

（有的學生在1張長方形紙上對折，有的學生在1張正方形紙上對折，有的學生在1張圓形紙上對折，有的學生在1張等邊三角形紙上對折）

師：剛才大家都做了一個一樣的動作——“對折”，就是說把一張紙平均分成2份，每份是這張紙的二分之一，寫作（出示那你知道這些分數是什么意思嗎？

在這個教學片斷中，我通過分紙問題引發矛盾沖突，讓學生經歷分數的產生過程，理解分數的數學內涵，體會分數表示的優越性。學生從認識正遷移到認識其他幾分之一的分數，在折紙創造分數的過程中將分數的“數”與“形”相結合，不僅拓寬了學生對分數概念的理解，還培養了學生的動手能力和創造性思維。

總之，學生在折紙過程中會從折紙模型中抽象出數學模型，從而經歷數學知識和數學概念的形成、發展和運用過程，這樣既能有效培養學生的動手能力和創造性思維，又能以數形結合的方式讓學生更加直觀地“看透”數學概念，為他們解決數學問題帶來靈感，促進他們對數學知識的內化，最終提升他們的數學學習力、思考力和創造力。