聚焦核心問題 發展學生素養
——《最大公因數》教學

鐘陽藩 鐘世文

【教學內容】

人教版五年級下冊第 60、61頁例 1、例 2。

【教學過程】

一、開門見山，揭示課題

（齊讀課題后，引導學生從“是什么、怎么樣和為什么”的角度提出相關數學問題）

師：剛才幾位同學對本節課應該學習什么內容談了各自的看法，綜合起來本節課的學習目標：一是理解什么叫公因數？什么叫最大公因數？并能夠在集合圖例把它們表示出來；二是掌握求兩個數的公因數和最大公因數的方法；三是掌握求特殊關系的兩個數的最大公因數的方法。

【說明：課始，開門見山揭示課題后教師順勢引導學生看著課題提問，培養了學生的問題意識。繼而，提煉概括出本節課的學習目標，讓學生學有方向。】

二、學生自學，獨立嘗試

師：接下來，請同學們對照學習目標，自學課本第60頁的內容。

（教師引導學生理解“對照”的意思，明確自學具體要求）

師：請拿出“個體自學反饋單”，對照學習目標進行自學，并認真做好記錄。

【說明：學習目標是學生進行自學的“燈塔”，理解“對照”的具體要求，讓學生行進在目標明確的自學道路上。“個體自學反饋單”為學生搭建了自學的橋梁，讓學生有事可做、做有收獲、學有印痕。】

三、自學反饋，生成問題

師：剛才老師進行巡視，收集了兩位同學的“個體自學反饋單”。現在請他們上來匯報。

（學生分別匯報，提出各自的疑問）

【說明：學生通過自學，有了一定收獲的同時還存在一些疑問，都有一種急于跟同伴交流的沖動。這時，讓學生上臺展示匯報自學成果，既滿足了學生的表現欲，又增強了學習的自信心。學生提出的問題，為聚焦核心問題提供了豐富的素材。】

四、聚焦問題，展示匯報

1.再次嘗試探究。

師：剛才幾位同學從不同的角度對最大公因數提出了自己的疑問。下面，我們就圍繞“怎樣求兩個數的最大公因數”這一問題進行深入探究。

【說明：個體獨立思考、嘗試探究越充分，小組合作交流、完善補充就越到位。】

2.交流討論。

師：請同學們以四人小組為單位，圍繞“核心問題探究單”進行交流。

交流要求：（1）組長分工，有序交流；（2）各抒己見，取長補短；（3）不同見解，協商討論；（4）推薦代表，準備匯報。

（學生有序交流，教師及時巡視、適時個別指導、了解討論情況、收集典型案例）

【說明：小組交流的質量決定學生展示匯報的實效，影響課堂教學的效率。小組有序交流是提高合作學習質量的重要保障，也為后續的展示匯報活動奠定了堅實的基礎。教師深入小組了解交流進程，收集典型案例，為高效展示匯報提供了可能。】

3.匯報探究成果。

匯報問題一：怎樣求一般關系的兩個數的最大公因數？

師：老師在巡視中收集到幾種找18和24的最大公因數的方法，現在請這幾位同學進行匯報。

（大屏幕展示一一列舉、寫小找大、分解質因數等方法）

生：一一列舉法就是分別找出18和24的因數，再在他們公共的因數中找出最大的。

生：寫小找大法就是先找出18的因數，然后用24除以這些因數，看看誰是24的因數，最后找出最大公因數。

師：一一列舉和寫小找大兩種方法的相同與不同之處是什么？你喜歡哪一種？為什么？

（引導學生交流、體會兩種方法的實質均為一一列舉，但是寫小找大方法更簡便）

師：最后，請一位同學介紹他的方法。

生：我用的是分解質因數的方法。

【說明：教師重點捕捉貌似不同、實則相同的兩種找最大公因數的方法，在學生初步掌握一一列舉“找”的方法基礎上，提煉出“寫小找大”的巧妙求法，通過對比溝通這兩種方法之間的內在聯系，完善了學生的認知結構。分解質因數的方法介紹，激發了學生的數學閱讀興趣，拓寬了學生找最大公因數的渠道。】

匯報問題二：怎樣求特殊關系的兩個數的最大公因數？

師：剛才我們研究的是一般關系的兩個數的最大公因數，那么特殊關系的兩個數的最大公因數又應該怎么求呢？

師：誰愿意與大家一起分享第二個問題？

生：我先來匯報“找一找”，1和16的最大公因數是1……

生：我來匯報“分一分”，我們根據每組數最大公因數的特點把1和 15、8和 9、11和 13、7和 12分為一類，因為這一類數的最大公因數都是1；把24和12、3和15分為一類，因為這一類數的最大公因數都是較小的數。

生：我們是根據兩個數的關系進行分類的。把1和15、8和9、11和13、7和12分為一類，因為它們每組數都是互質數；把24和12、3和15分為一類，因為這一組數存在倍數關系。

生：你是怎么知道互質數這個數學概念的？

生：我是從書本第64頁的“你知道嗎”中看來的。

師：上述兩種分類方法有什么相同點，又有什么不同點？

（教師引導學生觀察、比較、發現：兩種分法結果一樣，但是思考的角度不同）

師：根據剛才的分類，誰來說說特殊關系的兩個數有幾種情況？它們的最大公因數又各自有什么特點？

（教師引導學生觀察、討論、梳理得出：特殊關系的兩個數可能是互質數關系，也可能的倍數關系。互質的兩個數的最大公因數是1，倍數關系的兩個數的最大公因數是較小數）

師：最后一個問題誰來回答？

生：我來匯報“議一議”，互質的兩個數的最大公因數就是1。

師：現在請同學們仔細觀察，互質的兩個數到底有幾種情況呢？

生：四種情況：1和任意自然數，兩個質數，兩個連續自然數，一質一合。

【說明：在學生掌握了“寫小找大”求最大公因數的基礎上，通過分類分析，引導學生研究、發現特殊關系（互質及倍數）數的最大公因數的特殊求法，使學生對數與數之間的關系形成了一定的敏感性。通過二級分類，讓學生明確了構成互質的兩個數有四種情況，發現了判斷互質數的方法。】

4.梳理提煉方法。

師：現在，我們一起來梳理一下，怎樣快速找出兩個數的最大公因數？你認為求兩個數的最大公因數時要注意什么？

（引導學生回顧梳理，結合學生回答，生成表格式板書）

【說明：通過回顧梳理，總結出求兩個數的最大公因數首先要分析兩個數的特點，然后再求它們的最大公因數。如果兩個數是倍數關系，那么它們的最大公因數就是兩個數中的較小數；如果兩個數是互質數關系，那么它們的最大公因數就是1；如果兩個數沒有上述兩種特殊關系，就用一般的方法求兩個數的最大公因數。】

五、回顧梳理，拓展延伸

師：這節課你有什么收獲？還有什么問題？