從“引而不發”到“水到渠成”
———兩次執教《最小公倍數》的感悟和反思

倪斌強

【教學內容】

人教版五年級下冊第68、69頁。

【教學過程】

教學片斷一

第一次執教

出示：有一種墻磚長3分米、寬2分米，如果用這種墻磚鋪圖形（用的墻磚都是整塊），能鋪成正方形嗎？如果能，正方形的邊長可以是多少分米？最小是多少分米？

師：拿出墻磚模型自己擺一擺、想一想。

（每位學生準備若干塊長3厘米、寬2厘米的長方形硬紙板）

（學生獨自拼擺，教師巡視發現以下兩個問題）

問題一：學生盲目地拼擺，很長時間拼不出。

問題二：很多學生在拼的過程中不停地擺弄長方形模型，把各個長方形的邊緊緊貼在一起，唯恐長方形的邊之間有縫隙。

第二次執教

師：今天我們一起來解決鋪墻磚的問題，大家看課件：這里有一種長3分米、寬2分米的墻磚，如果我往墻上拼上一塊，拼成一個怎樣的長方形？再拼一塊呢？……

（課件演示拼的方法）

師：剛才我們都鋪了一些長方形，那么有沒有可能鋪成正方形呢？

［出示：用長3分米、寬2分米的墻磚鋪正方形（用的墻磚都是整塊）］

想象：如果能拼成正方形，它的邊長可能是幾？

操作：用長方形模型動手擺一擺、畫一畫。（把能畫出來的正方形都在作業紙上畫出來）

思考：鋪成的正方形的邊長與長方形墻磚的長和寬有什么關系？

（每位學生一塊長3厘米、寬2厘米的長方形硬紙板，獨自擺畫）

【反思：第一次執教雖放得很開，但是由于用長方形鋪成正方形容易受到面積的干擾，學生的思維很難聚焦到邊上，因此難度很大，所以會導致大多數學生盲目地擺和拼，甚至很長時間也沒有拼出正方形，影響了上課的效率。另外提供給學生操作的學具過多（每位學生若干個），學生會不停地拼擺長方形模型的邊與邊，使邊與邊能緊密相連，唯恐它們分開，因此學生的思維會流離于主題之外。第二次執教通過細致鋪墊，一方面讓學生知道該怎樣整齊有序地鋪，避免由于學生把墻磚放得方向不同（橫豎亂擺），干擾對概念的理解；另一方面使學生理解拼成圖形的邊與原長方形的長、寬之間的關系，為后面理解正方形的邊長與長方形的長和寬之間的關系做好鋪墊。讓學生在坐標圖上擺一擺、畫一畫更利于學生發現正方形邊長與長方形長和寬之間的關系，給學生的操作也降低了難度。只提供給學生1個長方形模型，而沒有提供充足的塊數，充分考慮到了小學生拼圖形的特點，排除了干擾的因素，使得學生的思維會更聚焦于主題中，同時，用一塊拼畫更能促進學生的思考。】

教學片斷二

第一次執教

師：能否拼成正方形？

生：能。

教師請拼成的學生上臺展示拼成的正方形。（學生小心翼翼地拿上來，并不停地擺弄各長方形的邊，使之靠緊）

師：說說你是怎么拼的？

生：我橫的擺3塊，豎的擺2排，剛好能拼成邊長是6厘米的正方形。

師：很好，還可以拼成邊長不一樣的正方形嗎？

生：這個我沒想好。

師：其他同學還有不同的正方形嗎？

（學生默不作聲）

師：大家看，拼成正方形的邊長與小長方形的長和寬有什么關系？

生：邊長是長的倍數，也是寬的倍數。

師：對了，那既是2的倍數也是3的倍數的數還有沒有呢？

生：還有 12、24……

師：對了，像 6、12、18、24……這樣，既是 2 的倍數又是3的倍數的數，也就是2和3公有的倍數，我們就叫這個數是2和3的公倍數。

第二次執教

師：能否拼成正方形？

生：能。

師：（請畫出3個正方形的同學展示自己的作業紙）你是怎么思考的？

生：橫的擺過去，邊的長度分別是2、4、6、8、10、12、14、16、18 厘米。

師：這些數有什么共同點？（板書：2的倍數）

生：豎的擺上去，邊的長分別是 3、6、9、12、15、18厘米。

師：這些數有什么共同點？（板書：3的倍數）

師：拼成的邊長可以是哪些數？（教師圈一圈）

師：要怎樣的數才可以？

生：既是2的倍數，又是3的倍數。（板書）

師：邊長可以是哪些數？

生：24、30……

師：為什么？

生：因為這些數既是2的倍數，又是3的倍數。

師：你是怎么這么快找到這些數的？

生：它們是6個、6個增加的。

師：你真善于發現，確實是這樣的。像6、12、18、24……這樣，既是2的倍數又是3的倍數的數，也就是2和3公有的倍數，我們就叫這個數是2和3的公倍數，2和3的公倍數有哪些？

生：6、12、18、24……

【反思：第一次執教時學生由于受到學具的影響最多拼成了一個正方形，只拼成一個正方形而要發現拼成的正方形的邊長和小長方形的長和寬之間的關系很難，所以會出現冷場的一幕，只能由教師直接引導和告知，這樣的學習是低效的。第二次執教時由于課始恰到好處的鋪墊，并精心設計了在坐標圖上用一個長方形來畫，動手之前先讓學生思考如果能鋪成正方形，它的邊長可能是幾？再動手擺一擺，畫一畫。然后思考：鋪成的正方形邊長與長方形墻磚的長和寬有什么關系？（這里采用先想后拼擺驗證的方式，一方面對于學優生來說可以培養他們的想象力，另一方面對于學習較為困難的學生一開始雖然想不出，但在拼擺過程中還是可以找到最小的正方形的）；學生經過獨自思考、動手操作后，集體交流時教師在關鍵點恰到好處的提問：你是怎么思考的？邊長可以是哪些數？這些數有什么共同點？使學生的思維從開始的面，到后來的邊，再到后面的點（數），逐步抽象，思維逐步走向清晰，學生發現光是3的倍數是不行的，同樣光是2的倍數也不行，要拼成正方形，它的邊長要既是3的倍數，又是2的倍數，這是理解公倍數這個概念的關鍵。】

教學片斷三

第一次執教

師：剛才我們通過鋪地磚，知道了公倍數，誰來說說什么是公倍數？

師：像6、12、18……是3和2公有倍數的數，叫做這兩個數的公倍數。

師：觀察一下，這些公倍數有最大的嗎？

生：沒有。

師：那有最小的嗎？

生：有。

師：最小的那個公倍數，我們叫做這兩個數的最小公倍數。

第二次執教

師：小松鼠一次能跳4格，小猴一次能跳6格，它們從同一起點往前跳，跳到同一點會是哪幾格？

師：先想一想，會是哪幾格？再畫一畫，驗證一下你的想法。

（學生獨自完成后集體交流）

師：我們一起看一看跳格子和前面的鋪地磚有什么共同點？

生：找的都是兩個數的公倍數。

師：什么是兩個數的公倍數？

生：兩個數公有的倍數。

生：都沒有最大的公倍數，都只有最小公倍數。

師：什么是最小公倍數？

生：所有公倍數中最小的一個公倍數。

師：從兩個數有公倍數可以聯想到什么？

生：三個數之間是否也有公倍數？四個數呢？五個數呢？

（學生舉例驗證）

師：幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數。

【反思：概念的形成是從一定的具體例子出發，以直接經驗為基礎，通過對材料觀察、比較所得到的感性認識，以學生的感性經驗為基礎，形成表象，進而以歸納方式抽象出事物的本質屬性，獲得數學概念的過程。

第一次執教通過一個例題直接引出公倍數和最小公倍數過于匆忙，學生在沒有找到事物的共性前是不可能很好地理解公倍數和最小公倍數這兩個概念的。通過一個例子就得出公倍數概念是草率的。在概念數學化的過程中最為核心的思維活動是概括。但在此次教學中，這個應當充分展開的思維過程，被壓縮為掌握概念的結果，甚至以記住概念、說出它的定義來取代對概念本質屬性的認識過程，這是輕過程、重結果的現象。

第二次執教先讓學生解決鋪地磚的問題，再讓學生解決跳格子問題。通過兩個具體的例子讓學生比較這兩題的共同點（都是求兩個數的公用倍數），學生很自然地概括出公倍數、最小公倍數等數學概念。這個教學過程使學生從生活進到數學，通過對實際問題的反思抽象，獲得對公倍數、最小公倍數概念內部結構特征的直接體驗，學生不僅能清楚地體會到數學的內部聯系（倍數和公倍數），而且能真切地體會到數學與外部生活世界的聯系（公倍數與鋪墻磚、跳格子），體會到數學的特點和價值。體會到“數學化”的真正含義，從而幫助他們獲得對數學的正確認識。】

【課后反思】

1.精選素材，學習從無味變得有味。

斟酌再三，還是選用課本上的素材——鋪地磚問題，是因為數學來源于生活，從學生的現實生活中尋找一些能夠“自動地”反映公倍數、最小公倍數內部結構特征的實際問題，讓學生通過解決這些生動具體的實際問題，獲得對公倍數、最小公倍數概念內部結構特征的直接體驗，積累數學活動的經驗；在此基礎上，再引導學生從生活進到數學，通過對實際問題的反思抽象，引出公倍數、最小公倍數等數學概念，并通過對解決問題過程的進一步提煉，總結出求最小公倍數的方法。這樣，學生獲取知識的過程被“拉長”了，花的時間可能也要稍多一些，但是比在“純數學”的范疇內經歷概念的形成過程更有挑戰性，更能激發學生學習的內驅力。在這一過程中，學生學習的積極性和主動性被充分地調動起來，當他們面對那些生動有趣的實際問題時，會自覺地調動起已有的生活經驗和那些“自己的”思維方式參與解決問題的過程，主動地借助各種外部的物質材料來展示自己內部的思維過程；通過經歷這一過程，學生能獲得對數學知識更深刻的理解。

2.活用教材，體驗從單薄變得厚實。

教材出示用長方形的墻磚鋪正方形的情境后讓學生直接動手操作，用長方形模型的硬紙板拼擺正方形，這時多數學生是盲目地拼，很多學生由于沒有教師的引導，橫擺豎擺的都有，很難拼成正方形，或者就是拼成正方形也只有單一的一個，不能很好地激發學生思考，這樣的體驗是單薄的、淺層的。而我在實際的教學中讓學生在坐標圖上擺一擺、畫一畫，用坐標圖更利于學生發現正方形邊長與長方形長寬之間的關系，給學生的操作降低了難度。還有通過課始細致地鋪墊，學生知道該怎樣整齊有序地鋪，避免由于學生把墻磚放得方向不同，干擾對概念的理解。也使學生初步感知拼成圖形的邊與原長方形的長、寬之間的關系，為后面理解正方形的邊長與長方形的長和寬之間的關系做好鋪墊。這樣既尊重了教材，又用活了教材，使學生的操作體驗變得更加具體、有效和厚實。

3.有效引導，交流由浮淺走向深入。

《數學課程標準》指出“學生是數學學習的主人，教師是學生學習的引導者。”引導需要含而不露、指而不明、開而不達、引而不發。只有這樣，才能讓學生更理性地進行數學思考，學生之間、師生之間的交流也才能由浮淺走向深入。學生在拼擺過程中一直在思考：鋪成的正方形邊長與長方形墻磚的長和寬有什么關系？學生經過獨自思考、動手操作后，集體交流時教師提問：是怎么思考的？邊長可以是哪些數？這些數有什么共同點？教師進行這樣有效地引導，使學生的思維從開始的面，到后來的邊，再到后面的點（數），逐步抽象，思維逐步走向清晰，學生發現只有3的倍數是不行的，同樣只有2的倍數也不行，要拼成正方形，它的邊長要既是3的倍數又是2的倍數，這是理解公倍數這個概念的關鍵。解決公倍數概念后，再讓學生比較“鋪地磚”與“跳格子”這兩題有什么共同點，學生很自然地想到都是求兩個數的公有倍數，水到渠成地概括出公倍數、最小公倍數等數學概念。