延續數學思維 提高復習效率
——《整數混合運算復習課》教學片斷與思考

許玉燕

（本文作者系朱樂平名師工作站“一課研究”組成員）

有效的數學教學注重思維的訓練，強調思維品質的提升。從計算復習課的角度出發，教師在對思維能力處在不斷發展和提升的小學生進行教學時，需要潛心解讀教材，更要用心研讀學生，抓住有效的生成資源與思維火花，做到“題盡其用”，引導學生在“算中思”“思中悟”“悟中通”，有效促其思維品質的提升。

一、猜想操作，促成思維的敏捷性

【教學片斷一】

課始出示人教版二年級下冊練習十三第1題（數據稍有改變）：

師：觀察每一組題，你們有什么發現？

生：每組算式中的數一樣，但下面的算式中有小括號，上面算式中沒有，所以運算順序不一樣。

師：猜猜每組題的計算結果會一樣嗎？（學生意見不一致）

（學生獨立用遞等式的形式在練習本上完成，請幾名學生板演。匯報計算過程，重點反饋錯例，在反饋中復習運算法則）

師：先算什么？再算什么？

每一組題校對后，教師追問：運算順序相同嗎？（不同）計算結果呢？（相同）

【思考：通過“觀察——猜測——操作——驗證”四步，使學生從認知沖突到結論一致，實現了本題第一層次的三點目標：一是保證了一定的技能練習量；二是通過匯報交流，結合具體題目回顧復習了運算法則；三是激發了學生的學習興趣與探究欲望。】

二、由表及里，培育思維的深刻性

【教學片斷二】

師：從剛才的檢驗過程中，你發現了這四組題有什么共同點嗎？

生：每組題運算順序不一樣，結果都一樣。

師：怎么會這樣呢？這幾組題里藏了什么奧秘才會出現這樣的特點呢？

生：第一組中上面的算式是一個一個減去，下面的算式是先在小括號里加起來，然后再一口氣減去，所以結果一樣。

師：真是一語點醒夢中人啊。其他同學聽懂了嗎？你能舉個生活中的例子來說明嗎？

生：比如我有65支鉛筆，先送給樂樂19支，再送給方方31支，還剩15支，可以用連減算。也可以把送給樂樂的19支和送給方方的31支鉛筆加起來一共50支先一起拿走，這樣我最后還是剩下15支。

教師小結：像這樣連減的算式，我們可以改寫成被減數減去兩個減數的和，結果不變。

（在匯報中發現關于減法的算式，學生能簡單通過舉例說理，而關于除法的算式，學生則說不清，但都能發現加了小括號后，后面一個符號發生了變化。對此教師直接課件出示下圖，以釋算理）

【思考：數學家張伯駒先生曾說：“數學使我學會長時間的思考，而不是匆忙地去做出解答。”因此在猜想驗證的基礎上，我給學生充分的時間獨立思考，小組交流，引導學生進一步思考算式中的特點與規律，嘗試結合生活實例來說明算式之間的聯系。關于減法和除法性質的教學，教材主要編排在四年級下冊的運算定律中，因此，我并沒有強加給學生這些概念的解析，而是引導學生結合生活情境去理解抽象的算理，讓學生用已有的生活經驗去支撐現有的數學認知，使數學模型在學生頭腦中構建得更為深刻。對于除法的性質學生不易想到合適的生活情境來解釋，我直接借助動態圖從乘除法意義的角度進行演示，也滲透了數形結合的數學思想。】

三、感悟對比，發展思維的靈活性

【教學片斷三】

師：第一組中兩題算式結果都一樣，你覺得哪一題算起來更方便？為什么？

生：下面一題算起來方便。因為第二題括號里剛好算出來是50，65-50容易口算。上面一題需要退位，比較麻煩。

教師小結：連減的算式中如果發現兩個減數的和正好是整十數或整百數，我們就可以利用小括號改寫成先加再減的算式。

（通過幾組題的比較，關鍵引導學生體會到特殊情況下加上小括號會使計算變得更簡便）

【思考：簡便運算是對學生進行思維訓練、培養學生利用規律實現計算最優化思想的重要途徑。系統的簡便運算教學一般放在四年級下冊教學運算定律之后，但簡便運算不僅是一種技能，更是一種優化的意識，這種簡算的意識需要時刻培養與滲透，二年級學生同樣需要。因此，本節課旨在通過對比，使學生感悟何種情況下用小括號會使計算更簡便，培養學生的計算能力，發展思維的靈活性。】

四、驗證規律，調動思維的批判性

【教學片斷四】

師：像這樣運算順序不同、結果相同的算式還有嗎？你能創造幾組嗎？試著寫一寫。

學生匯報，教師板書并現場引導學生一起計算驗證。發現有兩類例證：

第一類：順序不同，結果相等16÷8÷2 36÷6×2 32-12-18 16÷（8×2） 36÷（6÷2） 32-（12+18）

第二類：順序不同，結果不等20+15+10 6×4÷3 24÷4-4 20+（15-10） 6×（4×3） 24÷（4+4）

（學生看到結果不等時很驚訝）

（教師先不做任何評論，分別根據結果把算式寫在兩個不同的區域，說：明明是按剛才的規律列的算式，怎么這些同學的算式得數卻不相等呢？是這個規律不成立嗎？還是另有原因呢？）

［通過觀察、思辨，學生最終總結出兩個使算式結果相等的條件：1.原式是同級運算（只加減或只乘除）；2.跟原式中第一個符號有關，第一個符號必須是“-”或“÷”］

【思考：既然學生出現了錯例，教師就不能視而不見，那么如何對二年級的學生解釋這現象背后的本質更為合適呢？在小學第一學段，既沒有學過相關的運算律，更沒有學習負數的計算，所以對于“化減為加、化除為乘”的原理無法剖析。而對于形象思維占據主要地位的低段學生而言，更無必要刻意提前滲透。因此，面對困惑，我主要從兩條路徑引導學生探明原因：一是結合生活情境舉例揭示算式不成立的原因；二是引導學生觀察第一類算式的共性，算式中的第一個符號非減即除，并且同一個算式中的運算非加減即乘除。這樣的處理方式是建立在學生的認識規律基礎上來深刻認識和理解的，能有效糾正類似想當然的錯誤發生。在教學中我們應把握好“知識深度”，但需追求“思維深度”，充分調動和培養學生思維的活躍性與批判性。】

五、啟發聯想，鼓勵思維的獨創性

【教學片斷五】

師：具有這樣特點的算式還能寫幾個呢？寫得完嗎？（寫不完）

（當幾乎所有人都認為對這道題的研究即將告一段落時，班上突然有一男生發言：“老師，我有辦法。可以用字母來代表所有的數。”）

師：為什么選用字母表示呢？

生：因為假如字母可以表示任何數的話就可以。

師：你打算怎樣表示？

［學生回答，教師板書：A-BC=A-（B+C）］

隨即學生呈現出了各種符號表示的等式：

【思考：有研究表明，思維的獨創性具有明顯的后天性，是在主體思維發展的進程中逐步形成和穩定化的，因而在其形成和發展時期具有可培養性。而思維獨創性的培養需要教師給予學生的行為、思想較大的自由度，這樣才會增強自主意識，學會獨立思考、自由表達、自我選擇，促進自我發展。因此本環節中對于學生的意外發言，我并沒有草草收場，而給予充分的表達機會，從而把他的獨特想法示之于眾。如此，不僅讓其他學生受到了思維啟迪，使課堂氣氛又一次高漲，還借機自然地滲透了符號化的數學思想方法，培養了學生的抽象思維能力及創新的思維品質。】

發展數學思維能力是數學教學的重要任務，復習課的教學不能只定位于知識點的梳理與體系的構建，更應注重復習效率的優化及學生思維品質的培養。一道題，多層次、多角度，在復習基礎知識的同時讓學生參與和經歷各類數學學習活動，善于捕捉與思考規律背后的本質，獲得自我生長的力量。讓學生的數學思維得以延續生長，使復習課取得理想的效果。