數學多元表征：向學生的思維深處漫溯

席愛勇

所謂數學多元表征，就是指數學知識在人的心理活動中的多種表現和記載的方式，分為數學外在多元表征和數學內在多元表征兩類。數學外在多元表征是指“需要學生理解和掌握的數學知識點，包括數學概念、命題和問題解決等；或數學陳述性知識、程序性知識和策略性知識等”數學學習對象的外在形式，主要有情境表征、實物表征、模型表征、圖像表征、口語表征、文字表征、符號表征等多種形式；數學內在多元表征則指個體對于數學學習對象的意義賦予與建構，是數學多元外在表征的內化結果，包括言語表征系統即言語碼和言語碼組織（如命題、圖式、CPFS結構等），心象表征系統即心象碼和心象碼組織（如視空間表征、心智模式等），以及兩個系統整合的綜合表征系統。

數學多元表征，不僅僅給學生提供多元化問題解決方案，更重要的是培養學生多樣化思維方式和習慣，促進學生數學思維品質的全面提升。筆者嘗試以蘇教版五年級《解決問題的策略——列舉》為例，讓學生經歷數學多元表征的過程，讓列舉策略向學生的思維深處漫溯。

一、從動作表征走向圖形表征

對于解決像“用12個邊長為1厘米的小正方形可以拼成幾種不同的長方形？怎樣拼周長最小？”這樣的實際問題，學生最先想到的方法就是動手拼一拼。在教學中，教師要善于順應學生的天性，不妨大膽放手讓學生先拼一拼，積累豐富的感性經驗，在此基礎上引導學生逐步條理化和抽象化，一步步自然地走進問題的核心。

通過動手操作，有的學生能全部表征出拼成的長方形，但沒有按照一定的順序（如圖1），有的學生只能部分表征出拼成的長方形（如圖2）。

圖1

圖2

這時教師可組織學生通過小組交流和集體研討，按照寬從小到大或按照長從大到小有序全部表征出拼成的長方形（如圖3），教師還可以引導學生有序畫出示意圖（如圖4），進一步抽象化，實現從動作表征走向圖形表征。

圖3

圖4

二、從圖形表征走向符號表征

學生在實現從動作表征走向圖形表征的同時，教師還可以引導他們比較拼好的不同長方形，思考這幾個長方形有什么相同之處和不同之處？學生很容易看出它們的面積相等，都是12平方厘米，因為都是用12個邊長為1厘米的小正方形拼成的。學生還會進一步發現：拼成的長方形長與寬的積都等于12，因為長方形的面積=長×寬，3種形狀不同但面積相等的長方形可以寫出3道乘數不同的乘法算式：12×1=12，6×2=12，4×3=12。這樣就把“用 12 個邊長為1厘米的小正方形可以拼成幾種不同的長方形”轉化成“兩個自然數相乘，積是12的乘法算式有幾種”的問題，引導學生從圖形表征走向符號表征。

當學生遇到“用100個邊長為1厘米的小正方形可以拼成幾種不同的長方形”時，學生自然就會想到用符號表征（列舉算式）來解決問題：100×1=100（平方厘米），50×2=100（平方厘米），25×4=100（平方厘米），20×5=100（平方厘米），10×10=100（平方厘米），因此，用100個邊長為1厘米的小正方形可以拼成5種不同的長方形。學生的數學思維也逐步實現從具體形象思維向抽象符號思維不斷邁進。

三、從外在表征走向內在表征

《解決問題的策略——列舉》教學最終要讓學生形成列舉的策略意識，就要把數學外在表征不斷內化為學生的內在表征和自覺的數學思維方式。在教學中，教師可以通過改變數據，讓學生很難通過書面一一列舉，從而激發他們從書面列舉走向在心里列舉，實現從外在表征向內在表征的轉化。例如，教師在引導學生完成“王大叔用22根1米長的木條圍一個長方形花圃。有多少種不同圍法？怎樣圍面積最大？”圖形的書面外在表征（如圖5）和表格的書面外在表征（如表 1）后，適時將數據“22”改成“220”，讓學生產生很難在紙上畫圖和列表的認知沖突，這時教師可順勢引導學生在心里畫圖或列表，借助內在表征系統解決問題，不斷提升學生內在表征水平，促進學生數學思維水平的深度提升，將解決問題的策略上升到意識和思維方式層面。

圖5

表一

教學片斷如下：

師：如果老師把“22根”改成“220根”，你還能很快發現有多少種不同圍法？怎樣圍面積最大嗎？

（有的學生動手在紙上畫了一陣后發現圍法有很多種，放棄；也有的學生用列表的方法寫了一些數據后也發現圍法很多，不想寫下去了）

師：怎么愣在那里不畫不寫啦？

生1：圍法太多，一時畫不完、寫不完。

師：那我們能不能在心里畫或寫呢？試著閉上眼睛在心里畫一畫、寫一寫、算一算。

師：誰來試著說一說你在心里怎么畫的或想的？

生1：我在心里畫一畫、算一算：先用220÷2=110（米），長畫109米時寬畫1米，面積是109×1=109（平方米）；長畫108米時寬畫2米，面積是108×2=216（平方米）……長畫55米時寬畫55米，面積是55×55=3025（平方米）。一共有55種不同圍法，長55米、寬55米時，長方形面積最大。

生 2：我在心里列表算：先用 220÷2=110（米），長109米、寬1米、面積109平方米；長108米、寬2米、面積216平方米……長55米、寬55米、面積3025平方米。寬從1米變到55米，所以，一共有55種不同圍法，長55米、寬55米時，長方形面積最大。

從外在表征（圖形、表格的書面表達）走向內在表征（圖形、表格的心象表達），順勢將學生的數學思維水平從具體形象思維推向直觀想象和抽象邏輯思維層次，有效提升學生解決問題的策略水平和數學思維品質。