關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助作用研究

管博仁

摘 要：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相較于初中來說，知識(shí)體系更加嚴(yán)謹(jǐn)，知識(shí)點(diǎn)的難度有了進(jìn)一步的提升，對(duì)于我們高中生來說，高中數(shù)學(xué)成為了困擾一部分同學(xué)的重要因素。為此，本文從提高高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的角度，探討數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助性作用，希望能夠?yàn)橥瑢W(xué)們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到一定的啟發(fā)性效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；高中數(shù)學(xué)；邏輯思維

前言

一直以來，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，高中生普遍存在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)理解困難、數(shù)學(xué)題目解析水平差、缺少系統(tǒng)性數(shù)學(xué)思維的問題，這對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到了一定的負(fù)面影響。而數(shù)形結(jié)合思想則將數(shù)與形這兩個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的研究對(duì)象進(jìn)行了相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于高中學(xué)習(xí)來說非常有利。基于這一前提，探討數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的輔助性作用是極為重要的。

一、數(shù)形結(jié)合的相關(guān)概念

數(shù)與形是數(shù)學(xué)這一學(xué)科中最為基本的研究對(duì)象，在數(shù)學(xué)科學(xué)中也劃分出兩大研究領(lǐng)域，即代數(shù)與幾何。數(shù)與形作為基本的數(shù)學(xué)元素，在一定的條件與情況下，可以實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化，且具有可逆性與連續(xù)性，在這個(gè)過程中，就產(chǎn)生了數(shù)形結(jié)合思想，這在數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)過程中能起到非常重要的作用。而對(duì)于我們高中生來說，數(shù)形結(jié)合思想有利于我們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換更加便捷高效地明確題目條件重點(diǎn)、理清解題思路，抓住切入點(diǎn)，以提高數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力，提升數(shù)學(xué)題目的解析效率，因此可以說，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)生涯中起到了極為重要的輔助性作用。

二、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合思想的作用

（一）有利于實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)體系之間的過渡

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，由于數(shù)學(xué)知識(shí)的難度較高，在學(xué)習(xí)時(shí)常常會(huì)遇到難以理解的問題，影響學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)效果，而此時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以起到有效的過渡效果。對(duì)我們高中生來說，數(shù)形結(jié)合思想能幫助我們更加清晰而直觀地理解抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)集合問題的時(shí)候，由于之前并未接觸過這類知識(shí)，導(dǎo)致在最初學(xué)習(xí)的時(shí)候，往往并不能夠十分明確地對(duì)集合的概念與問題加以理解，此時(shí)結(jié)合Venn圖，就能夠更加清晰而明確地理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。

例如，若全集U={1，2，3，4，5，}，假設(shè)A∩B={2}，（C∪A）∩B={2}，（C∪A）∩（C∪B）={1，2，5}，試求集合A與集合B。

對(duì)這一題目的分析，就可以通過Venn圖的形式加以表示，為：

另外，在學(xué)習(xí)集合的過程中，諸如交集、并集、子集、區(qū)間等各種相關(guān)知識(shí)，都可以用Venn的形式加以展示，可以有效提高對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解效果[1]。

（二）有利于解決函數(shù)問題

函數(shù)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中極為重要的內(nèi)容，也是難度系數(shù)較高的重要知識(shí)點(diǎn)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)常常碰到各種各樣的問題，影響函數(shù)的理解與題目解析能力，但實(shí)際上，函數(shù)關(guān)系可以通過函數(shù)圖像來加以表示，這也是數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要應(yīng)用方向。函數(shù)圖像能夠十分清晰而直觀地對(duì)函數(shù)關(guān)系加以展示，也描述了函數(shù)的形式，更加有利于對(duì)數(shù)量關(guān)系問題的研究。在進(jìn)行函數(shù)習(xí)題解析時(shí)，就可以通過函數(shù)關(guān)系與函數(shù)圖像之間的相互轉(zhuǎn)換，將代數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁栴}，如值域求解、變量取值、參數(shù)求取、斜率確定等題目。而在函數(shù)問題中，數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用可以有效鍛煉我們的知識(shí)遷移與轉(zhuǎn)化能力，培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的進(jìn)一步提升。

例如，假設(shè)x，y存在 的關(guān)系，則如何確定z=3x+2y 的最大值？

在看到這一題目之后，就可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出題目條件約束的可行域，更加直觀地確定最值范圍，即可行域邊界位置。在畫出可行域之后，可以繪出一組平行線： 。

根據(jù)圖形可以得知，如果直線 經(jīng)過點(diǎn)A，則截距 存在最高值，z為題目的最值，可以求出：z=5。在這一例題中，函數(shù)圖像的應(yīng)用充分反映了不同變量之間存在的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便于更好地理解題目條件與要求，更加直觀地理解題目含義，進(jìn)一步提高函數(shù)題目的解析效率，并且便于解題結(jié)果的驗(yàn)證。

（三）有利于方程問題的解析

數(shù)形結(jié)合思想在方程中的解析作用，可以體現(xiàn)在函數(shù)方程、不規(guī)則方程與一元二次方程求解的過程中。在求解近似解或題目解的數(shù)量的時(shí)候，可以利用函數(shù)圖像簡(jiǎn)化解題過程。例如，求方程式：sinx=lgx中解的數(shù)量。對(duì)這個(gè)題目進(jìn)行解析時(shí)，可以首先繪出相應(yīng)的圖像，通過圖像來直接確定解的數(shù)量。由圖像可以得知，該題目存在3個(gè)解。

上述題目在數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用中極為典型，直接通過圖形來展示方程“數(shù)”的計(jì)算結(jié)果，而這種方式的應(yīng)用大大簡(jiǎn)化了特殊方程解析路徑，使這一難題一下子迎刃而解。

在解決一元二次方程的時(shí)候，也可以采用數(shù)形結(jié)合的思想，援引二次函數(shù)圖像來起到輔助性作用。二次函數(shù)中，f（x）的圖像與x軸的焦點(diǎn)，可以作為方程f（x）=0的根，則根據(jù)這一因素，通過曲線與x軸之間的焦點(diǎn)來確定方程根的情況，數(shù)形結(jié)合并相互轉(zhuǎn)化，以更加高效地解決數(shù)學(xué)問題[2]。

例如，在方程mx2-（2m+1）x+m-2=0（m>0）中，存在兩個(gè)實(shí)解，x1<-1，x2>-1，確定m的范圍。

在這一題目中，直接進(jìn)行求取存在一定的難度，但可以援引二次函數(shù)來輔助方程式的解析。假設(shè)y=mx2-（2m+1）x+m-2，而（m>0），也就形成了一條開口向上的拋物線，其拋物線與x之間的焦點(diǎn)，在x=-1與x=0的兩側(cè)。為此可以通過圖像更加直觀地展示。

由圖可知，x=-1時(shí)，y<0，而x1<-1，x2>-1，可以得知如果x=-1，則y=mx2-（2m+1）x+m-2=4m-1，4m-1<0，則m< 。又因?yàn)閙>0，則0

結(jié)語：總而言之，作為高中學(xué)生，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)，必須明確數(shù)學(xué)的重要地位與影響，建構(gòu)數(shù)形結(jié)合的思維模式，并在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)題目解析中加以應(yīng)用，旨在進(jìn)一步開拓?cái)?shù)學(xué)邏輯思維、行政數(shù)形結(jié)合的思維模式，來輔助高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與題目的解析，進(jìn)一步提高高中數(shù)學(xué)水平，在高考中取得更好的數(shù)學(xué)成績(jī)，為更加美好的未來不斷拼搏。

參考文獻(xiàn)：

[1]周晶.淺談數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，2017，11（5）.

[2]李筠.淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，2013，7（25）：103-103.