高中數學中集合與簡易邏輯的相關問題

曹悅航

摘 要：集合與簡易邏輯的關系是高中生需要掌握的重點問題，本文通過探索性問題、補集思想、數形結合、分類討論等四個方面，探討了高中數學中集合與簡易邏輯的相關問題。首先是理解教材中的基本概念，對數學問題有一個本質上的了解，這樣在解決問題的時候才會更為簡要，本文通過相關的理論知識，分析了相關的集合例題，以期為廣大高中生學習數學提供參考。

關鍵詞：高中數學；集合；簡易邏輯

集合與簡易邏輯之間的關系作為學習數學知識最為基礎性的一點，要想在之后的學習中得到更為充分的運用，就應該通過具體的例題，應用常見的數學思想來解決集合之間的相關問題。我們在數學課程的學習中，應該跟上教師的教學思路，努力提高自身的創新能力，通過掌握不同問題之間的潛在聯系，促進自身的全面發展。

一、探索性問題

首先是探索性問題，在做題的時候，遇到某一道條件不是特別明確，且結論也不夠清楚的問題時，應該對題目中的已知條件和相關信息進行適當的觀察與判斷，并從中探索與猜測出必要的條件。查看條件與最后的結論之間是否是相互成立的，例如已知的條件是 還有條件 ，如果題目的要求是要求得實數a的值？那么分別利用這兩個條件，作為構造性命題，將其判定為“若A則B”，所構造的原命題就是真命題，對兩個已知條件進行比較，可以發現，如果實數a選擇為4時，那么A就為p，B就為q，所以對應的命題就是若p則q。從分析的過程中，可以知道解題的關鍵就在與要掌握兩個命題之間的特征和關系，從而計算出實數的確定值。對于結果不明確的開放性探索題時，只需要找到某一個點，并說明這個結論是已經成立的即可。除此之外，在計算集合關系的時候，需要根據元素的性質，對題目中已知的各種信息進行統一化的收集和處理，從中探索出正確的答案。[1]

二、補集思想

對于部分結合問題，在解答的時候，如果僅僅從某一個角度出發，很難得到正確的答案。一方面是對這道題的解題思路不夠明確，不知道該從哪個方面開始分離，另一方面是需要考慮到的客觀因素過多，要對各個點進行全面的分析，計算的量多，無法提升解題效率。這時候，就可以使用“補集思想”進行解題，將復雜的數學題盡量簡單化。例如在 小于且等于1的時候，m為何數時，方程x2-x+m=0沒有實數根？假設將全集設置為R，一個集合中m是方程無實數根的取值，另一個集合中m是方程有實數根的取值，然后對方程進行變形處理，如果方程有實數根就得到m大于等于-2，且小于等于1/4.所以，最后得出的結果為m大于1/4或者是m小于-2，方程x2-x+m=0沒有實數根。如果從正面求解，在 小于且等于1的時候，通過方程要得出m的取值范圍，在這個過程中，如果不適當的對方程進行變形，設置全集，會加大整到題目的運算量。在分析這類型的數學題時，還可以通過二次函數的方式進行討論，然后列出關系式，但是這需要更為深厚的數學基礎，所以運用補集思想更為簡單方便。

三、數形結合的方式

數形結合的方式，就是將抽象性的數學語言與直觀的數學圖形進行有效的結合，對數學問題中的已知條件進行分析，并且結合與代數相關的知識，在代數與幾何的共同聯系中，求得正確的答案。在解決數學問題的時候，常常會遇到一些比較直接的困難，這時候就需要根據問題的背景與條件，充分利用“數”的概念，解決和集合有關的運算式問題。集合A={（x，y）y=x+1，x，y∈R}，B={（x，y）y=ax+2，x，y∈R}，如果A∩B，求得實數a的值？首先可以根據題目中的已知條件，畫出相應的圖形，如圖1所示，在集合A中沒有包含（2，3）的直線y=x+1，且集合B所表示的直線為m：y=ax+2.要分為兩種情況，第一種是直線L與直線m相互平行的時候，如果A∩B，那么得到實數a為1。另一種是當直線m在經過點（2，3）的時候，如果A∩B，就會得到2a+2=3，實數a的值為1/2.集合中的圖形語言都比較直觀，所以通過這種直觀性，運用概念和公式等方式，在集合性質的基礎上，求得正確答案。

四、分類討論的方式

在研究集合與簡易邏輯之間的關系時，要根據數學對象的本質屬性，找出其中的相同點與不同點，然后區分對象的不用，進行逐一的討論，從而達到解決數學難題的目的。[2]例如在集合 ，對任意的一個實數x都是恒成立的，那么判斷出下列關系中正確的是哪個？集合P不屬于集合Q、集合Q不屬于集合P、P∩Q等于空集。分析：首先要簡化集合Q，然后求得m的取值范圍，進行分類討論，當mx2+4mx-4<0對于任何的實數x都是恒成立的。那么就可以分為兩種情況，當m等于0時，與題意相互符合，另一種是當m不等于0時，解得的答案為m∈（-1，0]，因此，得到集合P是不屬于集合Q。運用分類討論的方式時，不能忽視m=0的情況。

五、結束語

數學集合作為高中數學的基礎性知識，我們要掌握處理集合和簡易邏輯之間的實際應用，通過對相關例題的分析，借助數字與圖形之間的關系，對常見的問題進行分析。只有這樣，才能正確的掌握集合的解題策略，提高自身的數學成績。

參考文獻：

[1]孫越.高中數學中集合學習的體會[J].科技風，2016（23）：40.

[1]李艷艷，黃衛華.離散數學與高中數學新課標中常用邏輯用語的銜接研究[J].文山學院學報，2014，27（06）：40-42.