淺析二次函數與方程的關系

唐朝陽

摘 要：二次函數是初中數學新課程標準中的重難點知識，更是銜接初高中知識的關鍵點，同時又是各地區中考的必考內容之一。二次函數與一元二次方程之間存在著千絲萬縷的聯系，不容分割，作為九年級的初中數學教師必須牢牢地把握兩者之間的內在關系，深入地研究二次函數的表達式與方程系數的各種關系，熟諳兩者關系的內涵和真諦，巧妙地向學生傳授有關解答兩者關系的典型例題，以促使學生靈活多變地解決實際問題，進而提升二次函數的運用能力。

關鍵詞：二次函數；方程；關系

如何將二次函數與方程有機地結合在一起，妥善地處理兩者之間的微妙關系一直是九年級初中數學教師難以攻克的一大難題，因為應用二次函數不僅關系到學生對函數基本知識的掌握情況，更牽扯到學生對一元二次方程的理解程度。因此，作為初中數學教師，必須對二次函數、一元二次方程的相關教材內容進行精心的設置，幫助學生深入地剖析兩者之間的關系，結合比較典型的、有代表性的例題，探究兩者之間知識點的融合，實現函數與方程之間的整合，避免學生在運用二次函數中走進誤區，造成兩者之間關系的割裂，在解題中思路受到嚴重的阻撓和困擾，陷入兩難的困境。本文就二次函數與一元二次方程之間的關系進行了深入研究和探索，對于整合兩者的關系，促使學生理解和應用二次函數有著積極的影響。兩者的關系具體表現在：

一、剖析二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系數a、b、c之間的關系

在這里需要注意的是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系數a、b、c之間的關系密不可分，初中數學教師必須結合圖像，引導學生仔細地觀看有二次項系數a、一次項系數b和常數項c的符號，以及系數a、b、c與二次函數之間的互逆運算，也可以說既可以根據二次函數圖像來判斷a、b、c的取值情況，也可根據a、b、c的符號來判斷二次函數的大體位置。比如：第一種情況是拋物線的開口方向與二次項系數a的符號有關：即當a<0時，拋物線的開口向下；當a>0時，拋物線的開口向上。第二種情況拋物線對稱軸的位置由一次項系數b和二次項系數a來共同決定：a、b同號，即ab>0時，對稱軸在y軸的左側，a、b異號，即ab<0，對稱軸在y軸的右側；第三種情況是拋物線與y軸的交點位置，取決于c的符號：當c>0時，此時的拋物線與直角坐標系的交點，在y軸的正半軸上；當c<0時，此時拋物線與直角坐標系的交點，在y軸的負半軸上，當c=0時，與y軸的交點在原點處。這樣就成功地把一元二次方程的系數和拋物線完整地結合在一起了，與此同時，教師必須引導學生進行知識的反思，要明白二次函數拋物線的開口方向、位置，會隨著a、b、c符合的改變而

變化。

二、利用二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像來分析與x軸的交點個數，判斷方程的根

針對教材中對二次函數、一元二次方程的相關資料進行詳細的說明和講解，教師必須逐步滲透利用數形結合的思想，引導學生學會觀察二次函數的圖像，來判斷一元二次方程解的情況，鑒于學生在學習兩者的概念中，存在很多的疑點和困惑，總是不能正確地認識兩者之間的差異和聯系，學習起來相對比較困難的狀況，教師必須利用二次函數的圖像，來進行說明和講解。

三、借助二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像，觀察一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情況

眾所周知，二次函數是幾何圖形的代言人，而一元二次方程所代表的則是代數式，在解決初中數學二次函數過程中，學生存在的問題不勝枚舉，總是會遇到這樣或那樣的困惑，然而教師如果為幾何圖形和代數式之間搭建起橋梁，許多問題就會迎刃而解，學生在學習二次函數和一元二次方程中就不會舉步維艱了。作為初中數學教師必須以事實為依據，結合二次函數的圖像，對一元二次方程的解的情況做出正確的判斷。在這里必須讓學生明白，判別式Δ=b2-4ac的符號決定ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情況，讓學生觀察二次函數圖像，當y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點時，Δ=b2-4ac>0，方程有兩個不相等的實數根；當與x軸有一個交點時，Δ=b2-4ac=0，方程有兩個相等的實數根；當與x軸沒有交點時，Δ=b2-4ac<0，方程無實數根即方程無解。經過這樣認真仔細的研究和分析，讓學生真正從二次函數的圖像中找到一元二次方程解的情況，反之，當知道一元二次方程解的情況時，也可以判斷拋物線與x軸交點的情況，觸類旁通、舉一反三，讓學生在學習數學知識的過程中，真正領會到數與形的有效結合。

總而言之，以上內容主要是針對二次函數與一元二次方程之間的關系進行的談論和闡述，借助本文可以讓學生深刻地把握兩者之間的關系，認識到二次函數與方程并不是孤立存在的數學知識，在學生腦海中注入函數與方程的數學思維，讓學生在理解二次函數表達式、圖像和性質的基礎上，內化與一元二次方程的聯系，實現“數”與“形”的完美結合，促使代數知識與幾何問題串聯起來，從而切實體現數學新課程標準的重要意義和價值。

編輯 謝尾合