在問題解決中滲透模型思想

摘要：以“總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)之間關(guān)系”問題為例，說明數(shù)學解題教學僅關(guān)注生活經(jīng)驗和數(shù)感是不夠的，應(yīng)該抓住時機，逐步滲透模型思想，培養(yǎng)建模能力。以在“解決問題的策略——畫圖”的教學中建立“總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)之間關(guān)系”模型為例，說明新舊知識撟接是根基，深度體驗介入是重心，系統(tǒng)歸納整理是關(guān)鍵，靈活拓展運用是要義。

關(guān)鍵詞：模型思想建模能力問題解決數(shù)量關(guān)系

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“義務(wù)教育階段數(shù)學課程的設(shè)計……在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結(jié)果的同時，要重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。”“模型思想的建立，是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程……有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應(yīng)用意識。”

鄭毓信教授在《數(shù)學教育哲學》中談道：“在數(shù)學發(fā)展的早期，人們通過觀察和實驗，并且依靠對經(jīng)驗事實的歸納獲得了一些認識，從現(xiàn)今的觀點來看，只能說是一種經(jīng)驗，而不能被看成真正的數(shù)學知識。數(shù)學學習只有深入到‘模型’‘建模’的意義上，才是一種真正的數(shù)學學習。”

然而，在當下的數(shù)學教學中，教師有時過分重視生活經(jīng)驗和數(shù)感這種“快思”，而忽視模型和建模這種“慢想”；當學生能利用生活經(jīng)驗和數(shù)感解決實際問題時，教師就很少能進一步地引導(dǎo)他們提煉“模型”、實施“建模”。其實，生活經(jīng)驗和數(shù)感雖然是“快思”，但也是“淺思”，難以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，獲得解題的通法；模型和建模雖然是“慢想”，但也是“深想”，可以識別問題的模式，找到解題的套路。因此，在解決實際問題的過程中，我們應(yīng)該抓住時機，逐步滲透模型思想，培養(yǎng)建模能力。

一、問題：僅關(guān)注生活經(jīng)驗和數(shù)感是不夠的

蘇教版小學數(shù)學六年級上冊《分數(shù)乘法》《分數(shù)除法》單元后有這樣一組對比練習：

（1）王師傅23小時織25米長的毯子，1小時織多少米？

（2）李師傅每小時織25米長的毯子，23小時織多少米？

（3）張師傅每小時織25米長的毯子，織23米長的毯子需要幾小時？

這是一組工程問題，可以看作工作量、工作效率和工作時間三者之間關(guān)系的不同應(yīng)用，也可以進一步提煉成總數(shù)、每份數(shù)和份數(shù)三者之間關(guān)系的不同應(yīng)用。

學生從二年級開始學習平均分和除法，做過很多這樣的題目。之前，題目中出現(xiàn)的數(shù)主要是自然數(shù)，多數(shù)學生都能順利解決。現(xiàn)在，題目中的數(shù)變成了分數(shù)，有些學生就會遇到困難：不知道用乘法還是用除法算；確定了用除法，又不知道用哪個數(shù)除以哪個數(shù)。

為什么題目內(nèi)容沒有變化，只是數(shù)字發(fā)生了改變，學生就從會做變?yōu)椴粫隽四兀科鋵崳旑}目中出現(xiàn)的數(shù)是自然數(shù)時，學生主要是依靠生活經(jīng)驗和數(shù)感直接快速地做出反應(yīng)。但是，當題目中出現(xiàn)的數(shù)是分數(shù)時，題目變得更抽象（不容易理解）、更復(fù)雜（不容易計算），生活經(jīng)驗和數(shù)感往往就發(fā)揮不了作用了，學生更多地要依靠“模型”和“建模”。

二、對策：抓住時機，逐步滲透模型思想，培養(yǎng)建模能力

上述問題中最根本（最廣泛）的模型是總數(shù)、每份數(shù)和份數(shù)三者之間的關(guān)系：總數(shù)除以份數(shù)等于每份數(shù)，總數(shù)除以每份數(shù)等于份數(shù)，每份數(shù)乘份數(shù)等于總數(shù)。在小學數(shù)學中，很多數(shù)量關(guān)系（如路程、速度和時間三者之間的關(guān)系等）都可以提煉成這個模型，很多問題都是這個模型的應(yīng)用。因此，在解決這類問題的過程中，應(yīng)幫助學生從具體的情境中抽象出這三個數(shù)量，并理解這三個數(shù)量之間的關(guān)系，從而感悟模型思想，發(fā)展建模能力。下面，以蘇教版小學數(shù)學四年級下冊“解決問題的策略——畫圖”的教學為例，具體說明。

（一）新舊知識撟接是根基

（教師出示教材例1的改編題：小寧和小春共有72枚郵票，小春和小寧的郵票數(shù)同樣多。兩人各有郵票多少枚？學生讀題后列式解答。）

師你是怎樣計算的？為什么可以這樣計算？

生72÷2=36（枚），小春和小寧各有郵票36枚。因為兩人的郵票數(shù)同樣多，所以把72平均分成2份，每份是36。

師對，這是“平均分”問題，用除法解決，它的數(shù)量關(guān)系是“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”。

（教師出示教材例1：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？學生讀題后無從入手。）

師為什么不能像剛才一樣直接用除法計算了？

生因為兩人不一樣多了。

教材設(shè)計例1的意圖是引入畫線段圖這一解決問題的策略，培養(yǎng)學生的策略意識。這是一道典型的“和差問題”，對于四年級學生來說有一定的難度。此題最終的算理可以歸結(jié)為“平均分”，即算法可以歸結(jié)為除法。教學例1前先出示改編題，意在設(shè)置一個坡度，幫助學生喚醒舊知，凸顯模型思想——利用“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”模型解決“平均分”問題，從而為獲得新知做鋪墊，即解決例1時想到把每份數(shù)不同轉(zhuǎn)化成每份數(shù)相同，繼續(xù)使用之前的模型。

（二）深度體驗介入是重心

（教師引導(dǎo)學生根據(jù)題意畫出圖1所示的線段圖，理清數(shù)量關(guān)系。）

師同學們，有了這張線段圖，我們便能直觀、清楚地看到兩個數(shù)量之間的關(guān)系。由此，我們能不能找到解決問題的方法呢？

（學生思考。）

師（啟發(fā)）怎么做，小寧和小春的郵票可以一樣多？郵票的總數(shù)有什么變化？獨立思考后和同桌討論一下。

（學生交流。）

生小春去掉12枚郵票。

生小寧補上12枚郵票。

生小春給小寧6枚郵票。

（教師采用活動的線段圖教具演示數(shù)量的“移多補少”。）

師（追問）哪些數(shù)量和原來不一樣了？哪些沒變？

……

“和差問題”解決的關(guān)鍵是把不相等的數(shù)變?yōu)橄嗟鹊臄?shù)。使用教具“活動線段圖”，能讓學生更直觀地理解數(shù)量之間的關(guān)系及數(shù)量變化的情況，更清晰地表達出自己的想法。這些都有助于學生深度體驗、介入探索的完整過程，實現(xiàn)成功建模。

（三）系統(tǒng)歸納整理是關(guān)鍵

師你們的三種想法，有的是“去掉”，有的是“補上”，有的是“移動”（給），目的都是什么？

生都是要讓兩人的郵票數(shù)一樣多。

師是的。當兩人的郵票數(shù)同樣多時，就可以將郵票總數(shù)平均分成2份，用除法求每份是多少，即利用“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”模型。

（教師引導(dǎo)學生交流，體會畫圖策略，形成策略意識。）

引導(dǎo)學生借助線段圖，回顧解決問題的過程，知曉三種解題方法雖然形式不一樣，但本質(zhì)相同，都是利用“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”這個數(shù)量關(guān)系（模型）。這是新知教學的最后環(huán)節(jié)，意在引導(dǎo)學生進行系統(tǒng)的歸納整理，透過復(fù)雜的現(xiàn)象識別本質(zhì)，確定相互的聯(lián)系，從而超越一道題目的解答，完成模型的建立。這一過程同時也能幫助學生建立新舊知識之間的聯(lián)系。

（四）靈活拓展運用是要義

（教師出示教材“練習八”第4題：小建和小西買同樣的筆記本，小建買了3本，小西買了5本，小建比小西少花12元。筆記本的單價是多少元/本？學生獨立按要求先畫出線段圖，再列式解答，最后核對答案。）

師說說“12÷（5-3）”這個算式的意思，并想想用到了哪個數(shù)量關(guān)系式。

……

模型思想要求我們將一個問題的解決拓展為一類問題的解決；而建立模型的目的就是幫助學生依據(jù)模型舉一反三。在拓展運用階段，可以設(shè)計變式練習，引導(dǎo)學生觀察和尋找實際問題的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，建立起相應(yīng)的模型，然后以不變應(yīng)萬變，靈活地運用模型思想分析和解決問題。

參考文獻：

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