數學“一題多解”教學的偏差與矯正

摘要：在數學教學中，“一題多解”歷來受到重視和推崇。但是，在實際教學中，“一題多解”有一些不當的使用情況。“一題多解”教學的偏差現象主要有偏離教學目標、擾亂學生思維、排斥學生參與。“一題多解”教學偏差的矯正途徑主要有緊扣目標、關注學情、選擇時機、結合“一題多變”。

關鍵詞：一題多解偏差矯正一題多變

“一題多解”是指從不同的視角，運用不同的思維方式，來解決同一道題。在數學教學中，“一題多解”歷來受到重視和推崇。數學教師常常在抵御“題海戰術”時說它是“舉一反三”，在倡議“精講精練”時說它是“活學活練”，在防止填鴨式教學時說它是課堂生成與能力培養，在開展探究式教學時說它是思維發散與創意發展。特別是在一些觀摩課上，“一題多解”的案例頻頻出現，講課教師講得精彩、上課學生看得熱鬧、評課專家聽了贊賞。

筆者也很喜歡“一題多解”，課堂的解題教學如此，課后的解題研究更如此。然而，近一階段，筆者觀摩了一些數學課，關注了其中的“一題多解”教學，對這種常見模式的不當使用產生了一些擔憂。下面，指出“一題多解”教學中的一些偏差現象，希望引起大家的重視；尋求解決這一問題的矯正途徑，以期引發大家的思考。

一、“一題多解”教學的偏差

（一）偏離教學目標

例如，《等差數列通項公式》一課的教學目標可簡述為掌握等差數列的通項公式，體會方程思想，并能應用公式解決相關問題。為此，課堂教學應圍繞等差數列通項公式的由來、內涵及應用來展開，涉及的主要知識與思想方法有求等差數列的通項公式（歸結為求基本量a1和d，可以用定義法和待定系數法）、由等差數列的通項公式求某些指定項（包括判斷某些數是否為數列中的項）、求一個有窮等差數列的項數等。即圍繞等差數列通項公式中的a1、d、n、an“知三求一”的各種形式的問題（含實際應用題），鞏固知識，熟悉方法，形成能力，并且領會基本量法和方程思想。至于能力上的再提高，還可以著眼于an與am的有關性質以及與函數、不等式的聯系和綜合應用等，不過，首先要完成通項公式的掌握和應用。

但是，一位教師在課堂教學中，用約5分鐘的時間完成了通項公式的歸納和記憶，然后呈現教材上的三個典型例題，對其中涵蓋的基本量“知三求一”問題及方程思想方法沒有深入探究，認為“這些內容太平凡”；而重點關注利用一次函數的圖像、am+an=ap+aq（m+n=p+q）、直線的斜率等多種方法解題，想“讓大家看到更精彩的內容”。綜觀這節課，概念內涵簡化了，公式教學淡化了，基本聯系弱化了，而且難以讓學生熟練應用基本知識解決相關問題。這就是因不合時宜地使用“一題多解”而偏離教學目標所產生的后果。

（二）擾亂學生思維

根據美國心理學家吉爾福特的觀點，發散思維（主要特征為流暢性、靈活性、獨創性、精致性，一般方法有材料發散法、功能發散法、結構發散法、形態發散法、組合發散法、方法發散法）與聚合思維（主要特征為封閉性、連續性、求實性、聚焦性，常見方法有抽象與概括、歸納與演繹、比較與類比、定性與定量）既相互對立、又相互依存。離開了發散思維，聚合思維就難有創新；離開了聚合思維，發散思維也不可能展開。

毫無疑問，“一題多解”有利于發散思維的培養，而發散思維又是創造力的核心。但是，在學習的過程中，特別是在新知識起步階段，知識結構的系統性和能力的完整性是亟待解決的首要問題，知識的再現式應用和解題行為的初步嘗試都應占相當多的時間，此時急切需要形成的是聚合思維。因此，在聚合思維初具規模之前，過分地強調發散思維的培養，是違背思維發展規律的，也是難有實效的。

例如，在《不等式證明》第二課時中，教學分析法時，可以通過例題“若x1、x2∈R，求證：|1+x21―1+x22|≤|x1-x2|”，說明分析法的基本思路、書寫要求、方法實質等，讓學生將分析法完整地構建到自己的知識體系中，然后通過類似的問題進行鞏固與提高，形成學科能力。為了使形成的能力具有更加廣泛的可遷移性，還需要把能用分析法證明的重要問題形式，如7-5>15-13、mm+10）、logm（m+1）>logm+1（m+2）（m>0）等，作為例題或練習，讓學生在鑒別與比較中形成更完整的知識體系和能力結構。

然而，有教師在用分析法證明完這道例題后，立即轉入針對此題的“一題多解”演示：在近30分鐘的時間里，從平均值不等式到柯西不等式，從換元法到數形結合……通過課件提供了7種證明方法。這些方法出自不一樣的思路、不一樣的模式，使得分析法的思路、模式受到嚴重干擾，學生在分析法還沒有得到鞏固的情況下，思維和認識發生了彌散，找不到共通的規律性，學習效果很差。

（三）排斥學生參與

“請同學們看一看，還有沒有其他方法？”“請同學們想一想，不這樣做行不行？”這些是“一題多解”教學中教師經常采用的提示語。這種設問本意是讓學生積極地參與到課堂活動中，但這種設問太過空泛，不具有針對性，因此往往起不到很好的效果。這時，教師就會千方百計地加以引導和暗示，希望學生能“發現”教師早已準備好的解法。只要引導和暗示足夠充分，往往是能夠見效的。一個新的解法出現，課堂氣氛就會活躍起來。教師、學生和聽課的人就會感到滿意。于是進入下一輪：“大家再看看，還有嗎？”……

其實，深入分析這樣的“一題多解”教學，就會發現它在一定程度上呈現了“虛假的繁榮”，掩蓋了一些缺陷。在最初的常規解法學完之后，后面的其他解法往往具有一定的技巧性，教師通過長期鉆研、廣泛閱讀能夠提供，但是學生很難頻現這些“奇想”，屢出這些“奇招”，一些學生甚至很難跟上教師的節奏。筆者曾聽一位學生說道：“就一道題目，老師一會兒寫出一種解法，問我們還有沒有，我們不知道；就又寫出一種，再問我們還有沒有，我們哪里會想得出。老師一共寫了8種方法，正好也下課了。”這種灌輸式羅列解題方法是典型的“解題秀”，學生只能“望題興嘆”“欣賞觀看”“微笑稱贊”。學生的主體參與無法得到真正的落實，學習效果也就不會很好。

二、“一題多解”教學偏差的矯正

（一）緊扣目標

“一題多解”不是解法越多越好，而應緊扣教學目標，將各種不同的知識點融通在解題方法中，讓學生明晰“一題多解”的價值，注重“通性通法”的探索，了解各種解法的聯系和蘊含的數學思想。“一題多解”的過程不宜面面俱到，而要對不同解法做取舍或詳略處理，注重解題的思路訓練和解法的對比篩選，其中基本方法重在理解掌握，特殊方法重在思維過程。形式必須服從內容，那些與課堂教學目標相關度比較小或相沖突的，導致學習沒有明確方向的方法，應當毅然割舍。

（二）關注學情

對數學知識有不同體驗和認識的學生，在“一題多解”中會有個性化的思路和解法。“一題多解”不宜刻意追求解法的新奇，而要關注學生的學情，重視學生能理解、能發現（可適當提示）的思路和解法。為此，要營造接納的、支持的課堂氛圍，讓學生自己思考，展現自己的原本思維；細致分析學生成型或不成型的解法，讓學生有“這種解法我也能想出來，不太難”的心理基礎，且使學生的個性化解法越來越合理、可行。

（三）選擇時機

蘇聯心理學家維果斯基的“最近發展區”理論告訴我們，只有教學內容處于學生的“最近發展區”時，教學才是可行且有效的。“一題多解”重在啟發學生積極思考，充分發揮聰明才智，從不同的視角、利用不同的條件、通過不同的路徑，尋求問題的多種解決方法。“一題多解”要把握好教學時機，在知識新授課中應盡量少用，而比較適宜在章節復習課、方法歸納課、小組合作研討與練習課中使用。

（四）結合“一題多變”

美國數學教育家G.波利亞說過：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”“一題多解”需要結合“一題多變”，進行變式教學，從而多角度、全方位地挖掘問題的內涵和價值，把問題逐步發展或者延伸，成為反思與建構的一種形式。進而幫助學生明確題目中哪些條件或目標的變化會導致哪些方法不適用或更簡捷，使學生“懂一題，會一片”。另外，變題比解題要求更高，需要站在出題者的角度看問題，對原問題有深刻的理解把握和直覺的判斷領悟，以充分調動學生的好奇心與探究欲，改善學生的思維品質，提升學生的認識層次。

這里，解法1、解法2的關鍵是畫出可行域，然后根據目標函數的幾何意義得出結論，是解決線性規劃問題的常規思路，可以在學習線性規劃時及時運用；解法3是運用不等式的性質，關鍵在于求出系數，可以在學習不等式時綜合運用；解法4是利用向量數量積的幾何意義，可以在學習向量數量積后綜合運用。

此外，該題的目標為求z=x+2y的最小值。對其可以“一題多變”如下：

變式1求z=x+2y的最大值。

變式2求z=y-2x+2的取值范圍。

變式3若（4，-5）是z=y-ax取得最大值的最優解，求實數a的取值范圍。

變式4若z=y-ax取得最大值的最優解不唯一，求實數a的值。

變式5若z=y-ax（a>0）取得最大值的最優解唯一，求實數a的取值范圍。

這樣的“一題多變”有助于培養學生發散思維和聚合思維，發展學生的應變能力，增強學生面對新問題時敢于聯想從而分析解決問題的意識。

參考文獻：

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