數學深度學習：目標指向與引領策略

摘要：深度學習有自主與理性、理解與批判、聯系與構建、遷移與應用4個特征。分知識、體驗、品格3個一級指標和陳述性知識、程序性知識、過程性知識，技能體驗、思維體驗、結果體驗，情感認知、自我監控、自我預測9個二級指標以及36個條目，來探索數學深度學習的目標指向（實踐內容）。在教學中，教師除了常規地根據目標指向推進數學深度學習，更多地要潛移默化地根據學習情況引領學生達成目標指向。可采用“簡單到復雜，搭設想象的階梯；形象到抽象，實現思維的升華；求解到發現，生成創新的思維”的“三部曲”策略。

關鍵詞：數學深度學習目標指向引領策略

“深度學習”是當前教育教學研究的熱點話題。但是，很多研究還停留在宏觀、抽象的理論層面，缺少微觀、具體的實踐指導，導致很多一線教師對于“什么是深度學習”還是霧里看花，對于“怎樣引導學生進行深度學習”還是不知所措，有些一線教師甚至認為多做難題就達到“深度”了。

“天下大事，必作于細。”筆者嘗試結合深度學習的特征和數學學科的特點，提煉數學深度學習細化的目標指向，給數學教師提供實在的抓手來對照著推進數學深度學習的教學；并指明數學深度學習的引領策略，呈現數學深度學習的教學案例。

一、深度學習的特征

1976年，F.Marion和R.Slj撰文，根據學習者獲取和加工信息的方式，將學習者分為深度水平加工者和淺層水平加工者，首次提出并詳細闡述了深度學習和淺層學習這兩個概念。此后，許多研究者對深度學習概念的內涵、主要特征、促進策略等進行了描述性的研究，從理論層面提出了對深度學習的認識。

通常，深度學習理論認為，淺層學習對應布盧姆認知目標分類中的記憶（從長時記憶中提取有關信息）、理解（從教學信息中建構知識意義，抽象認識概念、原理）層次，屬于低階思維；深度學習對應布盧姆認知目標分類中的應用（在新情境中應用所學知識技能）、分析（將材料分解成要素，明確各要素之間的關系及整體關系）、綜合（將各要素組成一致的或實用的整體，生成新的結構或模式）、評價（依據一定的標準對所學知識技能做出價值判斷）層次，屬于高階思維。

有比較才有鑒別。筆者嘗試結合已有的研究，從理論層面比較深度學習和淺層學習的特征（見表1），以期更好地認識深度學習。

當然，深度學習和淺層學習之間，很難有涇渭分明的嚴格界限。但是，我們不難概括出深度學習的自主與理性、理解與批判、聯系與構建、遷移與應用4個特征。可以認為，深度學習屬于“有意義的發現學習”（奧蘇伯爾分類），是指通過主動學習與理性思考，在理解概念、原理含義的基礎上，能夠應用所學知識去分析問題、綜合問題、評價問題，使思維從低階向高階發展；能夠批判地學習新的知識和方法，將它們融入原有的認知結構中，遷移到新的情境中，不斷做出決策和解決新的問題。

二、數學深度學習的目標指向

我們分知識、體驗、品格3個一級指標，以及9個二級指標、36個條目，來探索數學深度學習的目標指向（實踐內容）。

（一）數學深度學習知識的目標指向

數學知識的學習無疑是數學深度學習的基礎。要讓學生明確數學知識的學習不是死記硬背數學概念和公式，而要認識數學知識的分類，并知道如何逐步深入以達到更高的層次。我們分陳述性知識、程序性知識、過程性知識三類（共12個條目），來確定數學深度學習知識的目標指向（見表2）。

（二）數學深度學習體驗的目標指向

數學深度學習重要的一點是讓學生發展思維，能夠對數學形成理性的本質的思考和探索，并提高技能，分析問題、綜合解決問題。對此，我們用數學深度學習體驗表述，并分技能體驗、思維體驗、結果體驗三類（共12個條目），來確定數學深度學習體驗的目標指向（見表3）。

（三）數學深度學習品格的目標指向

數學學習品格除了體現在學生個性化的思維習慣和思維方式中外，還包括學生的情感態度價值觀、元認知能力以及對未來的預判力，這些是學生必須具備的終身學習素養。我們分情感認知、自我監控、自我預測三類（共12個條目），來確定數學深度學習品格的目標指向（見表4）。

三、數學深度學習的引領策略

在教學中，教師除了常規地根據目標指向推進數學深度學習，更多的要潛移默化地根據學習情況引領學生達成目標指向，尤其要注意引領學生探索數學知識發生、發展的歷程。對此，可采用“簡單到復雜，搭設想象的階梯；形象到抽象，實現思維的升華；求解到發現，生成創新的思維”的“三部曲”策略。下面通過一則教學案例加以說明。

在一次教研活動中，筆者應邀借班上了一節觀摩課，內容為蘇科版初中數學七年級下冊“8.3同底數冪的除法”第一課時。

在預發的“導學案”的“預習檢測”部分，筆者設計了這樣的問題：

請根據你已經掌握的知識先計算下列各式，再觀察計算結果，你發現了什么規律？

（1）107÷104；

（2）a8÷a6（a≠0）；

（3）b90÷b40（b≠0）。

設計這個問題的目的是，從特殊的10為底數到一般的a為底數、從小數字的可以列舉的除法到大數字的整體分離的除法，引領學生通過數字到字母、部分到整體的思維過程，抽象出同底數冪除法的運算性質。

對此，學生課堂上的學習反饋如下——

師請小組討論這個問題。

（學生小組討論。）

師請第七組展示你們的討論成果。

（第七組選出3位學生板演，結果分別如圖1～圖3所示。）

生（第一位板演的學生）這節課我們學習的是“同底數冪的除法”，根據公式am÷an=am-n，10的7次方除以10的4次方就是10的7減4次方，等于10的3次方。我的展示完畢。

生（第二位板演的學生）根據同底數冪除法的運算性質“同底數冪相除，底數不變，指數相減”，a的8次方除以a的6次方等于a的8減6次方，等于a的平方。我的展示完畢，請同學們點評。

（無人舉手點評。）

師（問第三位板演的學生）你也是這樣想的嗎？

生（第三位板演的學生）是的。

師大家都是這樣想的嗎？有沒有不同意見？

（學生靜默。）

可怕的靜默反映的是嚴重的問題：學生只是機械地記憶公式，套用公式模仿解題，沒有探索公式發生、發展的歷程。這樣的學習，做再多的題也只是停留在“記憶”層次，增加熟練程度而已。

探索概念、原理生成的歷程（“是怎么來的”），自然地抽象出概念、原理的本質，是深度“領會”的前提。如果這一層次出了問題，那么下面的“應用”“分析”“綜合”“評價”等層次就成為空中樓閣。

在探索知識生成歷程的過程中，學生需要經過一系列的質疑、判斷、調整以及相應的分析、綜合、概括等認識活動，通過多樣化的思維過程、認知方式和觀點結論的碰撞、論爭和比較，以真正理解數學的本質。

換個角度看，重結論就是重“學會”，重過程就是重“會學”。“學會”重在理解知識、接受知識，以掌握知識，提高解決當前問題的能力，是一種繼承性、適應性學習；“會學”重在探求知識、發現知識，以感悟方法，提高解決更多問題的能力，是一種創新性、發展性學習。

因此，筆者進行了如下教學調整——

師請各個小組討論：他們這個組的展示出了什么問題？

（學生小組討論。）

生我們感覺他們的展示有問題：這幾道題在我們學習本節課內容之前呈現，這個時候還沒學到公式，他們怎么用到公式了呢？

師這就是問題所在：他們先看了后面要學的公式，搬過來解答前面的問題。那我們預習時，應該怎么辦呢？

生（齊）先看前面的問題，再記后面的公式。

師現在知道這幾道題的作用了吧！我們要通過這幾道題歸納出公式，而不是先看公式來解這幾道題。這是學習過程的問題，大家要學會探索規律是怎么來的。（稍停）3個式子的底數先是10，后是a和b；前面式子的指數較小，后面的很大。有誰知道課本為什么這么安排？

（學生靜默。）

師請小組討論。

（學生小組討論。）

生第1道題不需要學新的知識也能做；第2道題有點難，但也可以列出來算；第3道題全列出來很繁瑣，只能用課本的方法，分離出一部分。

生給我們推導后面的公式提供方便。

師（板演“am÷an”的運算過程）這樣做的目的是讓我們學會“領會”公式，真正地理解公式。很多時候，我們都是通過大量的事例來抽象出數學概念、公式的。

數學學科固有的特征之一是抽象，這是很多學生不喜歡、畏懼數學的重要原因。對此，很多教師習慣于通過大量的甚至重復的題目訓練來讓學生“熟記”數學。但是，這種重復根本不能讓學生很好地理解數學。其實，教師應該通過現實生活事例，引導學生由感性到理性、由特殊到一般、由具體到抽象地獲得數學概念、原理等。這樣，才能幫助學生真正理解抽象的數學。

接著，筆者引導學生分小組多角度觀察、多方位變換公式，編制問題并分享交流，由此進一步培養學生的創新意識。一些小組展示的改編思路和部分問題如下：

第一組將底數變為多項式，給出問題：（1）（xy）11÷（xy）2（x≠0，y≠0）；（2）（x-y）10÷（y-x）5（x≠y）；（3）（-b）8÷（-b）（b≠0）。第四組改變指數，變成混合運算，給出問題：（4）t2m+3÷t2（t≠0）；（5）a7÷a5·a2（a≠0）。第五組利用逆運算給出問題：（6）a2m÷（）=am-1（a≠0）……

這節課的教學，筆者根據預設的問題，結合課堂生成，引領學生探索數學知識發生、發展的歷程。對照前述“數學深度學習的目標指向”，進行了“注重同伴交流，能用數學語言表達想法，讓思維沉穩而靈動”“能由感性到理性，理解抽象的數學”“明白應注重概念、公式生成歷程的探究”“數學促進將來的首創精神、創業意識和能力”等多個目標指向的潛移默化的引領。

參考文獻：

[1] F.Marton，R.Slj.On qualitative differences in learning：Outcome and process[J]. British Journal of Educational Psychology，1976（1）.

[2] 何玲，黎加厚.促進學生深度學習[J].計算機教與學，2005（5）.

[3] 葉信治，楊旭輝.深層學習與支持深層學習的教學策略[J].中國大學教育，2008（7）.