關聯同類最值問題，經歷變式拓展過程

周紅

[摘 要] 教學過程中發現學生的疑難點、疑惑處，并經過必要的關聯同類、變式拓展之后，輔以教學追問，讓學生加深對這類疑難點的理解，能達到解一題、會一類、通一片的教學效果.

[關鍵詞] 最值問題；問題意識；關聯同類；變式拓展

鄭毓信教授在新作《問題意識與數學教師的專業成長》一文中指出：問題引領對于數學教學的特殊重要性，強調由具體內容提煉出核心問題，通過適當的提問將學生的注意力由具體知識引向隱藏于其背面的數學思想方法，從而逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考. 在一次“圓”的單元測驗中，筆者所教班級有兩道最值問題的得分率很低，學生無從下手，于是筆者結合學生已有的認知，給學生梳理了一節有關圓中最值問題的習題課，試圖通過這節最值問題教學，讓學生學會思考，想得更深，想得更合理，也悟得更透，從而經歷這類難題的思路突破過程，發展他們的數學核心素養.

“最值問題”習題課的教學流程

1. 教學環節一：建立數學模型（圓外一點到圓上各點的最短距離）

模型 如圖1，P是⊙O外一點，直線PO分別交⊙O于點A和點B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離，即d-r，其中d為OP的長，r為⊙O的半徑，簡稱一點一圓模型.

筆者在此基礎上讓學生嘗試練習.

習題1 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是弧CD上一個動點，連接AP，則AP的最小值是______.

設計意圖 讓學生對模型有初步認識，能從復雜條件和圖形中找出已知點和圓，進而借助一點一圓模型求最值.

上述模型已知動點的軌跡，即動點在一個圓上運動，但如果題中沒有明確動點的運動軌跡，要求最值，又該如何分析、建模呢？

2. 教學環節二：探究動點的運動軌跡

習題2 如圖3，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請求出A′C長度的最小值.

習題3 如圖4，在正方形ABCD中，點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上運動，連接AE和DF交于點P，點E，F的移動，使得點P也隨之運動，若AD=4，試求出線段CP的最小值.

設計意圖 這兩道題都是求一定點與一動點所連線段的最值問題，難點是探究出動點的運動軌跡. 習題2由翻折可得A′M=AM是定值，此時要讓學生聯想到圓的定義，即到一定點的距離等于定長的所有點的集合是圓；習題3結合正方形的性質和全等知識能得到動點P在運動過程中，與定點A，D所連線段的夾角是直角，根據直角三角形的直角頂點在以斜邊為直徑的圓上運動，可探究出動點的運動軌跡也是圓. 上述兩道題意在讓學生根據已知條件和已有知識模型，先探究出運動軌跡，然后利用一點一圓模型解決問題.

經過上述鋪墊，接下來可以放手讓學生解決試卷中的一道填空題.

習題4 如圖5，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF. 連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H. 若正方形的邊長為2，則線段DH的長的最小值是______.

數學學習要的就是變通，體現出來的就是數學中的轉化思想或化歸思想，即利用知識的聯系，把不熟悉的轉化為熟悉的，把復雜的轉化為簡單的. 上述試題都是一定點一動點問題，如果遇到兩個動點，又該如何解決呢？

3. 教學環節三：兩動點問題的轉化

習題5 如圖6，⊙O是以原點為圓心、2為半徑的圓，點P是直線y= -x+8上一點，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為______.

設計意圖 利用切線的性質構造直角三角形，借助勾股定理表示出所求線段PQ的長，從而把線段PQ的最值轉化為線段OP的最值，即可以通過計算把兩動點問題轉化為一定一動問題，進而利用垂線段最短解決.

習題6 如圖7，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經過點C且與邊AB相切的動圓與CA，CB分別相交于點P和點Q，求線段PQ的最小值.

所求線段PQ是圓的直徑，這是個動圓，要解決此題，一定要緊扣動圓滿足的兩個條件：①過點C；②與邊AB相切. 假設圓心為O，圓O與邊AB相切于點D，連接OC，OD，則PQ=OC+OD，所以當O，C，D三點共線時直徑PQ取得最小值.

設計意圖 讓學生分析出運動過程中的定量關系，把不熟悉的問題轉化成熟悉的三點共線求最小值問題，使學生逐漸形成轉化意識.

習題7 如圖8，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，經過點C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相交于點M和點N，則線段MN的長的最小值是______.

設計意圖 此題是前面兩道題的綜合，首先根據已知條件可探究出弦MN的長是半徑的倍，再根據動圓滿足的條件求出半徑的最小值，從而求解.

習題8 如圖9，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上.

（1）證明：CE是⊙O的切線；

（2）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當AB=8時，求CD+OD的最小值.

設計意圖 學生有了轉化意識，思考這一題時，就會聯想到這是線段和的最值問題，通常化歸為三點共線來解決，難點是CD的轉化，但結合題中的30°，不難想到解決方法.

教后反思

1. 關聯同類，讓學生對最值問題進行類比學習

教學中難點、難題的突破，需要適當拉長過程，延長學習時間，以暴露難點或難題的思維過程. 基于這樣的認識，我們將學生學習過程中出現的關于圓的最值問題難題進行梳理、歸類，將同類最值問題關聯起來，逐次呈現，讓學生對最值問題進行類比學習，達到了較好的教學效果.

2. 變式生長，讓學生經歷最值問題由淺及深的拓展過程

在具體呈現該課時，要注意從簡單出發，讓學生經歷最值問題由淺及深的理解過程，感受難題也是由簡單的模型包裝而來，且在不斷的變式、生長、拓展過程中，隱藏了原先較為基礎的一些模型或經典圖形和性質，成為一道較難的問題. 學生如果善于轉化，能將復雜問題中的繁多線條適當抽離、剝離出基本圖形，就可以實現問題的有效轉化.

3. 預設追問，師生在對話互動中追求最值問題的深刻理解

由于最值問題是初中階段較難的一類問題，這時在教學過程中需要預設恰當的鋪墊與跟進追問，使學生在教師的點撥或追問下自主發現思路，以達到對最值問題的深刻理解. 這也涉及所謂的教學藝術話題，因為一般教師會奉送真理，而好的教師會啟發真理，讓學生意識到自主發現思路后的那種愉悅與自信超越解題本身，于是學習的趣味也就應運而生. 想來，春風化雨、潤物無聲，也是我們的共同追求吧.