三角形中的“重重蝶影”

李婷

摘 要 數(shù)學(xué)幾何當(dāng)中有很多基本圖形，如果給以一個(gè)形象的稱呼，同時(shí)挖掘基本圖形在幾何題目當(dāng)中的應(yīng)用，學(xué)生不但能夠?qū)χR(shí)記憶深刻，而且也增加了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞 蝶形；三角形；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）24-0228-01

數(shù)學(xué)幾何圖形當(dāng)中，是一些基本圖形組成的，而這些基本圖形又有著一些特殊的作用。如果只是簡(jiǎn)單給學(xué)生說明而沒有一個(gè)形象的稱呼和具體事例，學(xué)生印象就沒有這么深刻，現(xiàn)就在初中三角形題目出現(xiàn)較多的一個(gè)基本圖形，加以歸類分析，供讀者欣賞。

一、蝶形的引出

在七年級(jí)下冊(cè)的《三角形》這章中有個(gè)基本的結(jié)論：

圖1 圖2 圖3 圖4

如圖1，在圖中有：∠A+∠B=∠C+∠D。這個(gè)圖形實(shí)現(xiàn)了角度和之間的轉(zhuǎn)換，實(shí)際上是三角形外和的應(yīng)用，但是實(shí)際上在很多關(guān)于三角形的題目當(dāng)中應(yīng)用非常廣泛，如果沒有一個(gè)形象的稱呼，學(xué)生的記憶不夠深刻，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，我和學(xué)生一起稱之為：蝶形。這樣學(xué)生只要看到這種圖形就馬上會(huì)想到結(jié)論。下面我們?cè)倏纯丛趯?shí)際中的應(yīng)用。

二、蝶形的應(yīng)用

例題1：如圖2，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E。

分析：而這個(gè)問題如果和我們的碟形聯(lián)系起來，只要連接CD，這樣ABCD四個(gè)點(diǎn)就能構(gòu)造一個(gè)蝶形，把五個(gè)角的和轉(zhuǎn)變成了求三角形DCE的內(nèi)角和。問題得到了極大地轉(zhuǎn)變。

例題2：如圖3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F。

分析：蝶形的應(yīng)用不僅僅可以用來在三角形當(dāng)中進(jìn)行應(yīng)用，在其他的圖形當(dāng)中也應(yīng)用非常廣泛。這里連接CE，這樣ABCE四個(gè)點(diǎn)也構(gòu)成了一個(gè)蝶形，這樣就把原來六個(gè)角的和轉(zhuǎn)變成了一個(gè)四邊形CDEF的內(nèi)角和進(jìn)行處理。

例題3：如圖4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E。

分析：這里只要腦中有蝶形的結(jié)論，把CD連接，BECD四點(diǎn)就構(gòu)造了一個(gè)蝶形，這樣原來五個(gè)角的和轉(zhuǎn)變成了只要求三角形ACD的內(nèi)角和的問題。

例題4：如圖5，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F六個(gè)角的和。

圖5 圖6 圖7

分析：圖中連接ED，就可以由ABCE構(gòu)造了一個(gè)蝶形，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求四邊形CDEF的內(nèi)角和。

三、蝶形的拓展

蝶形不僅僅在角度求和當(dāng)中應(yīng)用廣泛，在角度轉(zhuǎn)換中作用非常重大。

例題5：如圖6，已知DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，求證：∠C=2∠E-∠A

分析：如果這里應(yīng)用蝶形，同時(shí)利用代數(shù)知識(shí)會(huì)得到非常巧妙地解答。

蝶形實(shí)現(xiàn)了角度和之間的轉(zhuǎn)換。同時(shí)在證明三角形全等當(dāng)中，為全等創(chuàng)造角相等的條件也非常有幫助。

例題6：如圖7：AB=AC，AD=AE，BD=CE，BD與CE相交于點(diǎn)G。求證：∠CAB=∠EAD=∠BGC。

分析：這里可以利用三角形全等的判定定理SSS，證明⊿ABD≌⊿ACE，得出

∠B=∠C，∠E=∠D，這里如果利用蝶形的結(jié)論，就可以得到：

∠B+∠CAB=∠C+∠BGC，∠E+∠EAD=∠D+∠DGE，于是可以得出：∠CAB=∠BGC，∠EAD=∠DGE，又因?yàn)椋骸螧GC=∠DGE，所以我們可以得到∠CAB=∠EAD=∠BGC。

這里可以看到如果學(xué)生頭腦中對(duì)基本圖形有一個(gè)形象上的認(rèn)識(shí)，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)圖形的理解，那么在數(shù)學(xué)當(dāng)中很多地方可以找到它的蹤影。

數(shù)學(xué)有時(shí)看起來比較枯燥，其實(shí)如果能夠找一些形象的比喻，讓學(xué)生頭腦中一個(gè)形象記憶，同時(shí)不斷挖掘它的用途，慢慢地?cái)?shù)學(xué)的趣味性就加強(qiáng)了，學(xué)生的興趣也慢慢提高了。

當(dāng)然數(shù)學(xué)當(dāng)中還有很多基本圖形，在具體教學(xué)中，我們老師如果能夠多用一些形象的比喻，讓學(xué)生能在頭腦中形象記憶一些數(shù)學(xué)的基本概念或者基本圖形，那么學(xué)生會(huì)更加的喜歡數(shù)學(xué)。