以素養立意的數學課堂教學思考
——以《方程的根與函數的零點》教學為例

蒲錦泉

（莆田第一中學，福建 莆田 351100）

高中數學教學活動的關鍵是促使學生學會數學思考，為學生創設會學數學、會用數學的情境。數學教育的根本任務是提升學生的數學核心素養，那么采取什么辦法可以使數學核心素養有效地落地?章建躍教師認為，從數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加以思考，是落實數學學科核心素養的關鍵途徑，需要教師改進教學的方式以適應這一要求。下面以《方程的根與函數的零點》為例進行分析與思考。

一、教學設計理念

本節以素養立意，遵循“問題、探究、建構、應用”的活動過程，以層層遞進的“問題串”引導學生學習，運用從特殊到一般的研究策略，基于數學本質而進行教學流程的優化和“再創造”，積極啟發學生思考。促進學生逐步學會觀察聯系、發現問題、提出問題、邏輯分析、尋找材料，辨析驗證、得出結論，經歷數學概念與定理的生成過程，感悟蘊含其中的數學思想與方法，逐步學會批判性思維、學會數學運用和創新。教學中既關注知識的生成過程，又關注學生的體驗，重在鼓勵、激發和喚醒學生。

二、教學過程框架

1.問題1數學中許多問題最終是轉化為方程求解問題，如何求解方程lnx+2x-6=0？

設計說明：設置問題情景，引發認知的沖突，促使學生認識到有些復雜的方程用以前的方法難以求出根，需要尋找解決問題的一般方法，學會提出、生成數學問題。

2.問題2探究方程f（x）=0的根與函數y=f（x）的聯系。

先探究一元二次方程的根與相應二次函數間的聯系，分別以方程x2-2x-3=0、x2-2x+1=0、x2-2x+3=0引導學生思考，并推廣得到：

結論1：一元二次方程的實數根就是二次函數圖象與x軸的交點的橫坐標；一元二次方程有實數根等價于二次函數圖象與x軸有交點。

結論2：方程f（x）=0的實數根就是函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標，方程f（x）=0有實數根等價于函數y=f（x）圖象與x軸有交點。

3.零點概念為敘述方便起見，引進函數的零點的概念，并得到三個等價關系：

方程f（x）=0有實數根?函數y=f（x）的圖象與x軸有交點?函數y=f（x）有零點。

4.概念應用

例1（1）函數y=2x-2的零點是_____；（2）函數y=2x-3 的零點是_____；（3）函數 y=log2（x-1）的零點是____；

5.問題3探究函數y=f（x）在區間［a，b］上存在零點的條件。

師：觀察函數y=x2-2x-3的零點的特征。在零點-1的兩側，從左往右看，函數值由正變負，函數圖象穿過x軸，函數就有零點，同理考察零點3，那么函數圖象穿過x軸如何用數學符號來描述呢？由這些你歸納出問題3的條件嗎？

生：函數f（x）滿足f（a）·f（b）＜0。

6.問題 4 若函數 y=f（x）在區間［a，b］上滿足 f（a）·f（b）＜0，則函數y=f（x）在區間（a，b）內有一定有零點？

生：連續函數。

師：你能舉例說明嗎？

師：還有補充？

生：f(x)={x+1,x≥0,在區間［-1，2］上滿足（fx-1,x＜0.1）·（f2）＜0，但在區間（-1，2）內無零點。

7.問題5若函數f（x）滿足f（a）·f（b）＞0，則函數f（x）在區間（a，b）內一定有零點嗎？

生：不一定，引導觀察二次函數y=x2-2x-3的圖象在區間（-2，4），（4，5）的情況說明。

師：生活中有沒有類似上面所講的情況嗎？如果溫度從3℃變到-6℃或者-3℃變到6℃，其間是否經過0℃?溫度從3℃變到6℃，其間是否經過0℃?

8.生成定理

如果函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b）使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

9.定理的理解及辨析：

例2下列說法是否正確？不對的請舉出反例（畫出圖象）。

（1）如果函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有 f（a）·f（b）＜0，則函數 y=f（x）在區間（a，b）內有唯一零點。

（2）如果函數y=f（x）在區間［a，b］上是增函數，并且有f（a）·f（b）＜0，則函數y=f（x）在區間（a，b）內有唯一零點。

（3）已知函數y=f（x）在區間［a，b］上連續的，若在區間（a，b）內有零點，則f（a）·f（b）＜0。

總結：函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖象是連續不斷的一條曲線：

（1）若f（a）·f（b）＜0，且函數y=f（x）在區間（a，b）內單調，則函數有唯一零點；

（2）函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點未必有f（a）·f（b）＜0。

10.定理應用

例3求函數f（x）=ln x+2x-6的零點的個數

學生自主探究。

法一：可先畫出草圖，結合性質、試驗、并加以判斷。

法二：在同一坐標系中分別畫出y=lnx與y=6-2x的圖象，兩函數圖象交點的橫坐標即為原函數的零點。由圖象可知，原函數有唯一零點。

問題6兩種方法有何聯系與區別？

設計意圖：讓學生認識到兩種方法的本質是一致的，即F（x）=f（x）-g（x）的零點就是函數y=f（x）與y=g（x）圖象交點的橫坐標，在求方程的近似解時用法一比較方便；當y=f（x）與y=g（x）的圖象容易畫時，分離函數來判斷零點個數可能比較方便。

11.反饋練習

（1）函數 f(x)=(x2+2x+1)(x2-2x-2)的零點個數為______；

（2）判斷方程x2-2x-2=0的根大概在什么區間內（多種思路）；

（3）函數f（x）=2x+x-3的零點是________；

（4）方程2x+x2=2的根的個數是多少？

思考：你能歸納判斷函數零點個數有哪些方法嗎？

12.歸納提升從知識、方法、思想等角度歸納提升，形成整體認識。

13.課后思考

（1）ln x+2x-6=0的根是多少？如何探求？（為下節的二分法作準備）

（2）如何求解不等式x2-2x-3＞0？今天的學習對此問題的解決有何啟示？

三、以素養立意的課堂教學問題思考

以素養立意的課堂教學，應從哪些方面著力？一節課的教學活動是難以把數學核心素養的六個維度一一呈現，因此課堂教學的重點更應落在以下幾方面。

1.把握核心知識，突出數學本質

知識是能力的載體，因此教學中首先要落實對核心知識準確把握與理解，落實好教學目標與要求，本節的核心知識是：（1）結合二次函數的圖象，認識方程的根與函數的零點的本質聯系；（2）理解函數零點的存在條件，會判斷函數在某區間內是否有零點。

首先，要讓學生認識到一元二次方程根的存在的本質。在講到一元二次方程與二次函數的聯系時，學生會認為，一元二次方程根存在的本質原因是與其判別式有關。教學中教師必須指明，雖然可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在，但其根存在的實質是相應的函數圖象和x軸有交點，沒有揭露出方程根存在的本質原因是相應函數的零點的存在，那么就會導致學生對引入函數零點的必要性缺乏深刻的認識，認識不到其一般性和本質性。所以，在研究一元二次方程與其相應函數圖象的關系時，讓學生理解方程根存在的本質。這樣，才能將所得到的判斷方程根存在的方法推廣到一般情況，對于沒有判別式的其他方程就可以根據相應的函數圖象來判斷了。

其次，讓學生理解函數零點的存在條件，會判斷函數在某區間內是否有零點。教學中花了較多的時間在這些核心知識的建構與理解上。在練習階段，進一步體會定理的應用，像判斷方程x2-2x-2=0的根時可用圖象去處理，令f（x）=x2-2x-2，由于f（0）=-2＜0，加上圖象開口向上即可判斷，加強數形結合的應用。對于方程2x+x2-2=0的根的判斷卻遇到了困難，因為函數f（x）=2x+x2-2的圖象不容易畫，這時啟發學生能否像例3的法二那樣化為函數y=2x與y=2-x2的圖象交點去研究。要讓學生明白：求F（x）=f（x）-g（x）的零點與求函數y=f（x）與y=g（x）圖象交點的橫坐標，其本質是一致的。師生最后再共同歸納出判斷函數在某區間內是否有零點的方法，即代數方法：若方程f（x）＝0的解可求或能判斷解的個數，可通過方程的解來判斷函數零點的個數；幾何方法：先研究函數的圖象與性質，結合零點存在定理判斷或者把函數F（x）=f（x）-g（x）的零點轉化為求函數y=f（x）與y=g（x）圖象交點橫坐標，這樣可以提升學生對核心知識的整體理解水平。

2.聚焦關鍵能力，感悟數學思想

本節的教學內容具有豐富的數學思想與方法，因此要從學生發展的角度去設計問題，讓學生入寶山而不“空返”，培養學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等素養，促進學生“有邏輯地思考”。

問題是數學思考的起點，因此要創設合理情境，在學生已有知識結構和新概念間尋找“最近發展區”，引起學生的認知沖突，激發學生的思維，讓學生學會提出問題，學會數學思考。引入環節是這樣的：在數學的學習中，許多問題最終是轉化為方程求解的問題，并讓學生思考：如何解方程lnx＋2x－6＝0？這個方程不能用求根公式求解，怎么辦？必須尋找新的更一般的方法，途徑在哪里？需要教師啟發學生從方程lnx＋2x－6＝0聯想函數，以此引導學生探究方程的根與函數的本質聯系，讓學生思考這種利用函數去研究方程的方法是否具可行性?是否具有一般性？因為每個方程都對應著一個函數，這種思路當然具有一般性。面對新問題，應該怎么辦？教師引導學生化生為熟，先從簡單的一元二次方程與相應的二次函數開始研究再推廣，這其間可以提問學生如何歸納所看到的事實并加以推廣，培養其思考問題的習慣，學會如何提出問題，如何解決問題。

用函數的觀點看待方程，把解方程f（x）=0的問題轉化為研究函數y=f（x）圖像與x軸的交點問題，再引入函數的零點概念，這其間經歷由“數”到“形”的轉化，可引導學生學會用數學符號表達函數圖象“穿過”x軸，讓學生學會直觀想象學會數學表達。經歷由“形”到“數”的轉化，可以從數和形的角度賦予方程更多的內涵，直至得到定理的嚴謹表述，可以讓學生感知數學直觀，學會數學表達、交流，體會蘊含其中的化歸與轉化、數形結合等數學思想。

本節從特殊的一元二次方程入手，引進函數的零點概念并探究一般方程的根與函數零點的聯系；再從特殊的二次函數入手，探究生成函數零點的存在性定理，結合生活并通過正反例子不斷加深對定理的理解與辨析，可以讓學生學會抽象概括，學會邏輯推理。注重抽象能力的培養，讓學生經歷零點的概念和定理的形成過程，最后通過總結，再次引導學生學習怎樣進行歸納與結構化，讓學生經歷抽象與邏輯分析過程，體會從特殊到一般研究問題的基本策略，有利于學生養成數學思考的習慣。

促進學生學會數學思考不僅停留在口頭上，而應有具體的方式措施，比如引導學生能用數學的方式閱讀、表達和交流，能讓學生學會遷移創新、學會數學應用。課后要求閱讀課本（二分法），學生自己嘗試考慮如何求方程lnx＋2x－6＝0的近似解。課后思考（2）：如何求解不等式x2-2x-3＞0？目的是讓學生類比本節的思想，尋找求解不等式的一般方法，讓學生在更大范圍內聯系學習，學會遷移創新，完善認知結構，形成函數、方程、不等式的有機整體。

3.發展必備品格，體現素養立意

數學教育不能忽視對學生的人文教育。那么，本節課的數學品格發展應體現在那些方面？首先應該體現在函數與方程的辯證認識上，方程f（x）=0就是函數y=f（x）的值為0狀態，方程的根可轉化為函數的零點問題。本節中的“數”與“形”、“靜態”與“動態”“特殊”與“一般”等都是具有辨證意味的。其次，發展必備品格要用“數學的方式”。即抽象化、運用符號、建立模型、邏輯分析、推理、計算，不斷地改進、推廣，更深入地洞察內在的聯系，在更大范圍內進行概括，建立更為一般的統一理論等。教師教學中對具有數學思維方式、觀念的建構，進行數學文化的滲透，就是發展學生必備品格的具體措施。教師把這種思考方式傳遞給學生，就是素養立意的重要體現。

4.素養立意的課堂教學實施建議

在具體的課堂教學中落實核心素養，應該注意從以下幾個方面著手：（1）增強核心知識的把握能力。教師應該站在學科知識系統整體的角度，加強課程標準的學習和教材的研究，把握住數學知識發展的脈絡，深刻理解數學知識的來龍去脈，挖掘最有育人價值的知識作為核心知識，突出數學本質和數學思想。（2）提升關鍵能力的聚焦水平。教師首先要通過把握教材內容結構來設計教學框架，然后根據教學框架來考慮需要突出的思想方法和關鍵能力。學生能力的培養需要因教學內容的不同而有所選擇、有所聚焦。每一節課可以培養的學生能力不盡相同，教師應該根據教學內容的不同，將關鍵能力的培養聚焦于某些能力，并在具體的核心知識的教學中，滲透關鍵能力的培養。（3）促進必備品格的逐步養成。必備品格的培養對于學科育人來講尤為重要，但是需要注意的是必備品格的培養不可一蹴而就，不能脫離具體的教學內容而牽強附會地設計并實施，應該做到因需設計。（4）構建靈動智慧的“生本”課堂。教學中應突顯數學靈動的特質，即注重本質思想、注重情境創設、注重探究生成、注重邏輯思維、注重創新應用、注重激活課堂，在如何更有效地促進學生學會數學思考的問題上著力，以“慢教學”引出更多的想法。

［1］章建躍.章建躍數學教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］文衛星.讓生態課堂成為常態［J］.中學數學教學參考，2017（9）.

［3］陳平.落實核心素養應立意于內化［J］.中學數學月刊，2017（5）.