關于高中數學建模教學的實踐與思考

陳元章

（廈門海滄實驗中學，福建 廈門 361026）

高中數學建模的課堂教學實踐是一個不斷探索和創新、不斷完善和提升的過程。通過引入數學建模思想和方法，使數學建模滲透進學生學習數學的始終，可增進學生對數學建模的認知和理解，更好地促進學生數學思維的發展，激發學生學習數學的興趣和熱情，形成靈活應用數學建模知識的實踐探究能力、觀察分析和抽象概括能力，深刻體會高中數學建模教學的價值和意義。

一、在概念教學中滲透建模思想，讓學生深入理解數學概念內涵

數學概念教學極為重要，為了讓數學概念教學中不單調不枯燥，教師可嘗試進行數學建模，對核心概念本質屬性進行抽象又簡潔的刻畫，體驗數學概念的獲得過程。在建模過程中，為了更好地培育學生的主動學習意識和精神，發展未來生活中實用的知識和能力，教師要引領學生主動學習、自主發現、獨立思考、善于歸納、勇于反思。概念模型建構的關鍵是創設數學建模問題情境，它可讓學生充分理解數學概念，形成開放性思維，幫助理解開放度較大的概念習題。以概念模型建構為契機，形成獨特的體驗式教學風格，使數學建模思想滲透到學生的數學學習過程中，形成學數學用數學的建模意識。

案例1：在人教版《高中數學必修1》指數函數一課中的概念教學，教師引入數學建模的思想，運用建模的方法來進行教學。首先，引入“獎勵硬幣”的建模情境和問題，如果1號學生獎2枚硬幣、2號學生獎4枚硬幣、3號學生獎8枚硬幣……，那么51號學生應當獎多少枚硬幣？引領學生自主發現，1號：2=21；2號4=22；3號8=23……大膽假設，歸納得出y=2x（y代表學生獎勵的硬幣數，x代表學生的座號數），然后再從具體的建模問題情境中抽象出數學模型y=ax。

在這個巧妙的數學建模情境問題中，可以使學生充分認識指數的概念，理解指數函數的內涵與外延，并且在這個“獎勵硬幣”的娛樂性學習活動過程中，極大激發學生學習數學的興趣。

二、在解題教學中引入建模方法，提高學生應用數學的能力

在解決各類習題時，建立數學模型是一種十分有效的方法。習題教學的有效教學策略是教師采用一定數量的習題，讓學生進行小組合作，完成數學建模的學習。通過數學建模的設計與合作學習，可以較好地培養學生的合作能力，培養學生觀察生活、分析問題、解決問題的能力，把學生帶入數學世界，充分感受到數學的魅力，從而主動地融入到數學的學習中。用數學建模的思想方法解決數學習題，更好地鞏固所學的數學知識，培養學生的數學應用意識，增強學生關于數學建模思想方法的認識，提高學生應用數學的能力。選用教材內外的典例時，需要教師考慮所學的數學知識與生活應用緊密聯系的特點，體現課標中數學知識生活化的要求。

案例2：健身場所通常會有一個身高體重對照表，成年人〔身高（cm）-100〕×0.9=標準體重（kg），如果體重超過標準體重的120%為偏胖，低于標準體重的80%為偏瘦。試問：身高175cm、體重為78kg的未成年男生的體重是否屬于正常值？

首先，教師可以引導合作小組Ⅰ的學生進行建模準備，調查并采集未成年男生的身高及體重的數據；其次，讓合作小組Ⅱ的學生進行數據處理。以身高為橫坐標，體重為縱坐標，繪制散點坐標圖；再次，合作小組Ⅲ的學生進行數據分析。根據所學數學知識，提出數學模型假設，數學模型為指數型y=a·bx或y=ax+b（x身高，y體重）。

三、在作業講評教學中鞏固建模能力，培養學生對模型的直觀識別能力

高中數學課堂教學時間極其有限，沒有給學生充分內化的時間，因此必須布置課外作業以加強所學的建模知識，加深對建模思想和方法的理解和掌握，在課堂上還需要重點講評部分建模作業加以鞏固，以形成建模技能，達到熟練掌握的目的。從趣味性、生活化的數學建模作業中，學生感受和體驗到數學的實用性價值，增強了數學建模思想。在講評教學中，重點鞏固建模的過程，著重提升學生的觀察分析能力、歸納總結能力與邏輯推理能力，提高學生對數學模型的直觀識別能力。

案例3：高中數學概念知識中的函數概念極其抽象，為了使學生更深刻地理解函數概念的本質，教師可考慮重點講評如下數學建模作業的函數模型。

（1）某城市出租車的收費標準為：三公里之內為8元，每增加一公里增加1.7元。請問：某人坐了10公里，需付多少錢？

根據題目的條件，可建模0≤S≤3，y=8；S≥3，y=8+1.7（S-3），建模后進行驗證，算出y=8+1.7（S-3）=8+1.7X7=19.9。

（2）移動通訊開設兩種不同的通訊業務，“全球通”是預先交納50元月基礎費用，再每通話1分鐘付電話費0.4元；“神州行”則無須交納月基礎費用，每通話1分鐘付電話費0.6元。如果以一個月為期，通話100分鐘，哪種更合算？

假設通話時間為t，“全球通”的通訊方式的費用為y1元，“神州行”的費用為y2元。根據題目的問題情境，建模結果為y1=50+0.4t；y2=0.6t。利用數學模型可解決問題，y1=50+0.4t=50+40=90元，y2=0.6t=0.6×100=60元。經對比，神州行花費少，更合算。

四、關于高中數學建模教學的若干思考

1.建模教學要立足于學習興趣和知識基礎

建模教學并非易事，需要學生對實際問題研究具有濃厚興趣和深厚扎實的數學知識，要求教師具備深入研究的能力，能準確觀察研究對象的固有特征，發現內在規律，建立起反映實際問題的數量關系，分析建模問題與數學知識之間的關聯性，使數學本質由模糊逐漸走向清晰。

2.建模教學要注重過程和環境創設

數學建模教學的指導思想是：以實驗為基礎，以學生為中心，以問題為主線，以培養能力為目標。這就要求教師在建模教學時，要重學生的體驗過程，體驗利用數學知識和方法去分析和解決問題的全過程，提高分析問題和解決問題的能力，以及應用數學的意識和能力。教學過程的重點是創造建模情境，而建模情境和問題沒有既定模式和現成答案，需要學生發揮想象力、聯想力和創造力，對于激發學生的發散性思維有極大的作用和意義，可激發學生探索數學模型的欲望和熱情，增強獲取新知識能力和創新探究能力，因而，教學時教師要重過程輕結果，重環境創設輕知識獲取。

3.建模教學要重視模型檢驗環節

建模具有涉及面廣、形式靈活等特點。每個數學模型都存在一定的局限性，只適用于一定的條件范圍。有的建模過程沒有經過規范的步驟，缺乏模型檢驗環節。模型檢驗是將模型分析的結果和實際情形進行對比，以驗證模型的準確性、合理性和適用性，如果模型與實際較吻合，就可解釋實際含義，如果不吻合，就應該修改假設，重新建模。

總之，教師要積極創設建模情境，成為學生的引領者和促進者，讓學生積極主動地參與到數學建模的學習中來，感知數學模型的建構方式，成為建模的有心人。教師要根據學生的學情，把握數學模型問題的深度和難度，激發和維持學生建模的學習欲望，培養數學創造性思維，將建模思想和方法應用于現實生活中，以提高學生的抽象概括能力和應用解題能力。

［1］楊立超.高中數學建模教學探究［D］.大連：遼寧師范大學，2015.

［2］孫丹.建構主義理論指導下的中學數學建模教學研究［D］.延吉：延邊大學，2015.

［3］徐園園.高中數學建模教學策略［D］.西安：西北大學，2015.

（陳元章，廈門海滄實驗中學特級教師）