《二次函數(shù)》概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)

李俊平 于曉青

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；概念教學(xué)；二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.62 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1009-010X（2018）05-0062-03

一、案例背景

概念教學(xué)在數(shù)學(xué)課程中占有核心地位。李邦河院士在《數(shù)的概念的發(fā)展》一文中指出“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。”章建躍博士進(jìn)一步指出，玩概念包含兩個(gè)方面：①定義概念（理清數(shù)學(xué)對(duì)象的要素，明確本質(zhì)）；②利用概念研究數(shù)學(xué)規(guī)律，就是研究各種各樣的關(guān)系。

然而據(jù)筆者觀察，平時(shí)的公開(kāi)課大家都不愿意選擇概念教學(xué)內(nèi)容，覺(jué)得玩不好會(huì)上成一節(jié)平淡無(wú)奇的課——由于內(nèi)容抽象學(xué)生聽(tīng)得沒(méi)勁，甚至旁聽(tīng)教師也覺(jué)得索然無(wú)味，授課教師也覺(jué)得尷尬——而概念教學(xué)又有如此重要，為了解決這個(gè)備課矛盾筆者對(duì)概念課的教學(xué)進(jìn)行了深入的研究。本文選取課例內(nèi)容針對(duì)九年級(jí)下冊(cè)第30章第一節(jié)第一課時(shí)章前概念課《二次函數(shù)》，是筆者近期用河北教育出版社的教材，與河北某地程度較好的學(xué)生共同完成的一節(jié)公開(kāi)示范課，旨在通過(guò)展示概念課教學(xué)流程為廣大數(shù)學(xué)教師群體在落實(shí)核心素養(yǎng)課堂方面提供一點(diǎn)研究素材。

二、基于落實(shí)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)分析

（一）學(xué)情分析

九年級(jí)學(xué)生已具備知識(shí)鋪墊和較高的觀察、歸納、空間想象等能力。二次函數(shù)是冀教版九年級(jí)下第三十章的內(nèi)容，是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)的又一類(lèi)重要函數(shù)。二次函數(shù)是函數(shù)家族的重要成員，是中學(xué)生對(duì)函數(shù)認(rèn)知體系的重要延伸。本節(jié)課作為二次函數(shù)內(nèi)容教學(xué)的起始課，必須為學(xué)生今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念、性質(zhì)、表達(dá)、應(yīng)用奠定扎實(shí)基礎(chǔ)。

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.掌握新舊知識(shí)間的關(guān)系，掌握二次函數(shù)表達(dá)式，會(huì)確定二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；2.探索和分析兩個(gè)變量之間建立函數(shù)關(guān)系的過(guò)程，學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述變量關(guān)系； 3.體會(huì)類(lèi)比思想、函數(shù)模型、從特殊到一般的歸納思想。

本課教學(xué)重點(diǎn)在于幫助學(xué)生對(duì)二次函數(shù)形成認(rèn)知，難點(diǎn)是學(xué)生對(duì)二次函數(shù)模型——“拋物線”的理解。

（三）學(xué)法設(shè)計(jì)

由于本課重點(diǎn)在于讓學(xué)生建立新的概念體系，課堂時(shí)間安排必須以學(xué)生觀察和思考為主。為了充分落實(shí)學(xué)生在課堂實(shí)踐占據(jù)主體地位的理念，筆者認(rèn)為本課教學(xué)過(guò)程應(yīng)該注重學(xué)生獨(dú)立猜想、類(lèi)比驗(yàn)證等思維訓(xùn)練，在課堂上通過(guò)進(jìn)行觀察、辨析、歸納獲得新知。

（四）具體教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一 導(dǎo)學(xué)

從學(xué)生熟悉的基礎(chǔ)知識(shí)——圓的半徑與周長(zhǎng)、面積關(guān)系引入二次函數(shù)：

“說(shuō)出這個(gè)變化過(guò)程中，改變半徑r，圓有什么改變？”

1：周長(zhǎng)與半徑關(guān)系：y=2π·r；

2：面積與半徑關(guān)系：S=π·r2.

環(huán)節(jié)二 實(shí)際建模，歸納概念

為了便于類(lèi)比，給出的是學(xué)生容易上手的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生基于方程模型建立二次函數(shù)概念。

1.某企業(yè)今年第一季度的產(chǎn)值為80萬(wàn)元，預(yù)計(jì)產(chǎn)值的季平均增長(zhǎng)率為x.

設(shè)第二個(gè)季度的產(chǎn)值為z萬(wàn)元，z=______

設(shè)第三季度的產(chǎn)值為y萬(wàn)元，y=______

2.某水果店銷(xiāo)售一種水果的成本價(jià)是5元/千克。在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種水果的價(jià)格定為7元/千克，每天可以賣(mài)出160千克。在此基礎(chǔ)上，這種水果的單價(jià)每提高1元/千克，該水果店每天就會(huì)少賣(mài)出20千克。設(shè)這種水果的單價(jià)提高了x元/千克。

（1）每天實(shí)際銷(xiāo)售的水果量z用表示，那么用含x的代數(shù)式來(lái)表示z=______；（2）若該水果店每天銷(xiāo)售這種水果所獲得的利潤(rùn)用y表示，那么用含x的代數(shù)式來(lái)表示y=______。

3.如圖，正四邊形有2條對(duì)角線，正五邊形有5條對(duì)角線，正六邊形有9條對(duì)線，如果正多邊形的邊數(shù)用x表示，設(shè)從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可做z條對(duì)角線，那么用含x的代數(shù)式來(lái)表示z，z=______；這個(gè)正多邊形共有y條對(duì)角線，那么用含x的代數(shù)式來(lái)表示，y=______。

……

上面問(wèn)題完成后讓學(xué)生先分組交流然后展示，訂正答案。

通過(guò)師生共同探討，得到了以下八個(gè)關(guān)系式：

引導(dǎo)學(xué)生觀察化簡(jiǎn)后的關(guān)系式：

z=2πr y=πr2

z=80x+80 y=80x2+160+80

z=x-3 y=- x2- x

y=-20x+160 y=-20x2+120x+320

思考?xì)w納：

（1）y，z都是x的函數(shù)嗎？它們的表達(dá)式有什么相同和不同？

（2）你能寫(xiě)出它們的一般形式嗎？

學(xué)生很容易得出第（1）組是一次函數(shù)，一般式是z=kx+b（k≠0）形式.

對(duì)于右邊這組問(wèn)題，學(xué)生需要經(jīng)過(guò)辨析、類(lèi)推的思維過(guò)程，得出：①它們都是含自變量的二次式；②一般式有三項(xiàng)，并按自變量的降冪排列；③各項(xiàng)系數(shù)用a、b、c來(lái)表示，a≠0是必不可少的條件。教師需要在學(xué)生結(jié)論中強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)比一次函數(shù)多了一項(xiàng)，叫“二次項(xiàng)”，由此順利得出“二次函數(shù)”概念：

一般地，如果兩個(gè)變量x和y之間的函數(shù)關(guān)系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0），那么稱(chēng)y是x的二次函數(shù)。期中a叫二次項(xiàng)系數(shù)，b叫一次項(xiàng)系數(shù)，c叫常數(shù)項(xiàng)。

下面是概念的精致化過(guò)程。一般式特征強(qiáng)調(diào)幾個(gè)需要注意的：

1.等號(hào)左邊是變量y，右邊是關(guān)于自變量x的整式；

2.a，b，c為常數(shù)，且a≠0；

3.等式的右邊最高次數(shù)為 2，可以沒(méi)有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，但不能沒(méi)有二次項(xiàng)；

4.x的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)。

進(jìn)而組織學(xué)生活動(dòng)以鞏固概念：指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)二次函數(shù)的例子并指出其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。對(duì)比二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的不同，聯(lián)想二次函數(shù)的圖像，性質(zhì)和應(yīng)用。

環(huán)節(jié)三 表達(dá)與應(yīng)用

請(qǐng)同學(xué)們填空并觀察表格中數(shù)據(jù)的變化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的增減性，對(duì)稱(chēng)性和最值，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖像一定不是直線，一定不是雙曲線，描點(diǎn)得出圖像——拋物線。

師：若該球運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線，解析式就是這個(gè)y= x2+ x+ ，當(dāng)x表示運(yùn)動(dòng)中的球到y(tǒng)軸的水平距離，y表示球到地面的距離，愛(ài)打籃球的看過(guò)來(lái)，看（7，3）這個(gè)點(diǎn)是否在圖像上？滿足這個(gè)二次函數(shù)的解析式，顯然點(diǎn)在拋物線上，因此可以投中。

環(huán)節(jié)四 感悟總結(jié) 梳理分享

在本節(jié)課上，從哪些方面認(rèn)識(shí)了二次函數(shù)，對(duì)二次函數(shù)的探究從哪里開(kāi)始的？接下來(lái)我們學(xué)習(xí)了什么？根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，后面幾課我們將會(huì)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的哪些方面的知識(shí)？

作業(yè)：

1.課本27頁(yè)A組第1、2、3題；

2.完成一起探究的第1題，P27的“做一做”；

3.請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出y=x2與y=-x2； y=2x2與y=-2x2的圖像.

三、基于落實(shí)核心素養(yǎng)的概念課的教學(xué)思考

中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念，特別是一些基本概念，與現(xiàn)實(shí)生活有密切聯(lián)系。

理解掌握概念課的第一個(gè)階段：感知概念，它是學(xué)生理解概念的必要階段，每一個(gè)概念的形成都有它的背景，了解概念產(chǎn)生的來(lái)龍去脈是概念教學(xué)的要點(diǎn)之一。通過(guò)學(xué)生熟知的問(wèn)題提煉兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生感知新的函數(shù)類(lèi)型，教師要充分利用概念的現(xiàn)實(shí)背景，提出現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，使學(xué)生身處現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境中，，通過(guò)親自體驗(yàn)來(lái)感知感念，這樣通過(guò)老師的引導(dǎo)可以使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中學(xué)會(huì)思考并獲得必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

理解概念的第二個(gè)階段：它是學(xué)生對(duì)活動(dòng)進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、類(lèi)比、抽象成模型的過(guò)程。概念的形成過(guò)程是一個(gè)師生互動(dòng)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中要滲透概念教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想和方法，如，數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比、函數(shù)與方程、分類(lèi)討論等思想和方法，逐步讓學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)選擇合理的思想和適宜的方法進(jìn)行處理，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行創(chuàng)造性解決。如在一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行對(duì)比，厘清概念與概念之間的關(guān)系進(jìn)行辨析，引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念。一般數(shù)學(xué)的概念有如下特點(diǎn)： 高度的抽象性，抽象的反應(yīng)一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性， 簡(jiǎn)明性，表現(xiàn)形式簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確，具體性與抽象性統(tǒng)一且具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性。這個(gè)過(guò)程是突出數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要各環(huán)節(jié)。

理解概念的第三個(gè)階段：通過(guò)師生之間、生生之間的交流與合作，在學(xué)生感覺(jué)、知覺(jué)和表象狀態(tài)下，通過(guò)分析綜合、抽象概括等思維活動(dòng)，從個(gè)別到一般，從具體到抽象，逐步把握一類(lèi)事物的本質(zhì)，形成一個(gè)概念。這個(gè)過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，也是一種重要的思維活動(dòng)。“學(xué)生在學(xué)習(xí)期間和老師和同學(xué)的交流程度一定程度上決定了這個(gè)學(xué)生的高度”。學(xué)生對(duì)老師的課堂內(nèi)容應(yīng)該從開(kāi)始的模仿慢慢轉(zhuǎn)化到隨著問(wèn)題進(jìn)行思考，思考得多了自然會(huì)產(chǎn)生很多獨(dú)立的見(jiàn)解。在課堂上就要讓這些思維的火花閃現(xiàn)，讓師生共同探討，讓學(xué)生進(jìn)行討論，只有思維的碰撞才能產(chǎn)生豐厚的成果。將概念教學(xué)最終納入學(xué)生的認(rèn)知鏈、形成知識(shí)體系是概念教學(xué)追求的最終目標(biāo)。

【責(zé)任編輯 馮夢(mèng)陽(yáng)】