情境問題與數學知識的相融性探究

胡連成

摘 要：數學教學應在情境中發現、思考、解決問題，實現在問題引領下開展探索學習.情境教學的落實不僅僅局限于“情境引入”環節，而是體現在整個學習過程，既可引領知識探索，又可在知識學習中探究數學規律、認識數學本質，也可在知識歸納中實現知識融匯、思想領悟、能力提升.

關鍵詞：數學教學；情境設計；問題探索

問題情境是指與教學目的、內容、學生認知結構相關，能激起學生發現問題、提出問題，使其進入思維、探究的思想狀態的外部環境.把學生置身于研究新的未知的問題情境，讓學生感到問題既熟悉又陌生，不能單純利用已有的知識和方法去解決，產生認知的困惑，在“悱、憤”中發現新問題、激發探索欲望、在探索中收獲知識與經驗，在思考中感悟思想與方法.

數學知識的學習需要在解決問題中實現，數學知識的探索需要情境的渲染與引領，數學學習能否吸引學生，需要教師精心設計問題情境，使其具有引人入勝的情境、誘人探索的問題、促人深思的內涵，以實現在探索中提高學習能力，在思考中發展數學思維的教育目的.本文結合實例闡述問題情境在數學教學中的引領、啟發與提升作用.

一、在情境引入中引領知識探索

阿基米德曾經說過：給我一個支點，我可以撬動地球.同樣教師也可以說：給我一個支點，我可以玩轉課堂.阿基米德的支點在哪里？我們不知道.但課堂教學的支點是可以確定的，那就是學生的求知欲和好奇心.通過精心設計數學情境，喚醒學生的問題意識，激發求知欲望，點燃思維火花，引領學生走向忘我的學習境界.

案例1 “圓周角定理”的引入

2015年2月27日，我國審議通過了《中國足球改革總體方案》，從國家層面明確了足球的戰略意義.我校響應號召，組建了足球隊.在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向對方球門MN進攻.當甲帶球到A點時，乙隨后沖到B點，如圖1所示.

問題1：此時甲是自己直接射門，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門，更容易進球呢？ （不考慮其他因素）

問題2：請度量∠MAN，∠MBN的度數，這時是甲自己直接射門，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門，更容易進球呢？

問題3：如果乙隊員的站位在優弧MN的其他位置時，你的判斷是什么？

問題4：如果乙隊員沿著優弧MN上路線跑動時，∠MBN的度數是否發生變化？你能解釋其中的原因嗎？

【案例點評】以校園足球隊的射門角度設計情境，看似平常現象卻隱含豐富的數學知識，通過有趣的問題引發學生的思考，體現“現實性、趣味性和數學一致性相統一” [1]的情境設計基本原則.在有趣的情境中通過問題1的直觀猜想引起學生進一步思考“為什么是這樣”.再通過度量操作、位置變化等數學活動，把現實問題自然轉化為思考有關“圓周角”的數學問題，“知其然更要知其所以然”.讓學生經歷從猜想到驗證、從操作到推理的探索過程，從具體問題情境出發建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題，通過解決數學問題進而解決實際問題，這種歷程對于發展學生從數學的角度思考問題、運用數學方法解決問題具有十分重要的意義.

二、在知識探索中思考數學本質

美國心理學家布魯納曾指出：教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動.在教學活動中，教師要充分關注學生的學習過程，善于創設探究情境，給學生提供思考的空間和實踐的機會，使學生在不斷的情境探索活動中收獲經驗、歸納規律、發展數學思維.

案例2 底部不可到達的測量問題

蘇科版義務教育教科書《數學》九年級下冊第7章第6節“用銳角三角函數解決問題”第三課時情境案例如下.

小明在某處利用測角儀觀測氣球的仰角（從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角）為27°，然后他沿正對氣球方向前進了50m，此時觀測氣球的仰角為40°（見圖2）.如果測角儀高度為1m，那么氣球的高度是多少？

結合教學實際，對教科書的情境案例進行了如下改動.

問題1：小明在A處利用測角儀觀測氣球的仰角為30°，然后他沿正對氣球方向前進了50m到達B處，此時觀測氣球的仰角為60°.如果測角儀高度為1m，那么氣球的高度是多少？

問題2：小明在A處利用測角儀觀測氣球的仰角為30°，然后他沿正對氣球方向前進了50m到達B處，此時觀測氣球的仰角為45°.如果測角儀高度為1m，那么氣球的高度是多少？

問題3：小明在A處利用測角儀觀測氣球的仰角為α°，然后他沿正對氣球方向前進了a m到達B處，此時觀測氣球的仰角為β°.如果測角儀高度為bm，那么氣球的高度是多少？

問題4：小明在A處利用測角儀觀測氣球的仰角為30°，然后他沿正對氣球方向前進了50 m到達B處，此時觀測氣球的仰角為75°.如果測角儀高度為1m，那么氣球的高度是多少？（結果保留根號）

【案例點評】本案例采取了“逐步深入、歸納規律、靈活運用”的思路對問題情境進行變式的拓展.問題1根據角度關系求出線段BC，進而解Rt△BCD求出線段CD的長度.問題2需要利用“設未知數、解方程”的方法求線段CD的長度.問題3 進一步思考了“用字母探尋一般規律”的數學模型.問題4根據“結果保留根號”的要求，跳出前面總結的數學模型的束縛，靈活運用知識，過點B作△ABC的高，構造3個含特殊角的直角三角形解決問題.這一系列的情境問題串的變式探索，引領學生感悟數學建模和方程思想，發展數學辯證思維能力.“具體結論”上升為“普遍規律”，復雜多變的現實問題才能呈現簡潔的數學美.靈活運用數學規律從不同角度解決問題，數學知識才能煥發七彩光芒，學生對數學知識方法與思想的理解才能更全面而深刻.所以問題情境的探索不要局限于一個具體問題，而要在思考一系列的問題串過程中有所思、所想、所獲，這才是情境教育的理想目標.

三、在知識歸納中提升能力

數學知識學習，貴在“通透融合”.“通”為互通，知識點融會貫通、四通八達、形成體系；“透”指透明，知識點本質要義一目了然、熟爛于胸[2].數學教學需要處理好局部知識的學習和整體知識融合，達到“既見樹木又見森林”的目的，形成完整的知識體系和方法思想的領悟.這一切的實現可以通過教師精心設計問題情境，讓學生在不斷的問題探索中歸納數學方法、構建知識體系、感悟數學思想、提升學習能力.

案例3 探索三角形中的特殊點

有三個村莊A，B，C，相互之間有筆直的道路連接（見圖3）.現需要在三角形區域內建一所倉庫.為了方便與三個村莊的貨物運輸，請你結合所學數學知識，提出有關倉庫選址的問題，并嘗試進行解答.

學生根據所學知識，提出很多問題.筆者選擇以下6個問題，進行討論和交流.

問題1：要使倉庫到三條道路的距離相等，那么倉庫應選在何處？

問題2：要使倉庫到三個村莊的距離相等，那么倉庫應選在何處？

問題3：要使倉庫到三條道路的距離相等，且到三個村莊的距離也相等，那么倉庫應選在何處？

問題4：要使倉庫到三個村莊的距離和最小，那么倉庫應選在何處？

問題5：要使倉庫到三條道路的距離和最小，那么倉庫應選在何處？

問題6：如果倉庫與A，B，C三個村莊的貨物的流通量的比例是1∶2∶3，那么倉庫應選在何處，有利于貨物流通？

【案例點評】本案例是在學生已經學習了三角形的內心和外心的基礎上進行的一節復習課的情境設計.通過倉庫的選址情境，引發學生從不同角度思考問題.

問題1和問題2涉及三角形的內心、外心知識.學生已經學習了相關內容，可以較好地給出解決方案.問題3需要思考只有等邊三角形的內心和外心才能互相重合，結合正多邊形與圓的關系進行分析.正確把握三角形的內心、外心、重心、中心（等邊三角形）之間的聯系和區別，形成完整的知識結構.

問題4提出的“到三角形三個頂點距離和最短的點”稱作“費馬點”.它最早是17世紀法國數學家皮埃爾·德·費馬提出的.具體內容是：① 當三角形3個內角均小于120°時，那么三角形內存在到三頂點形成的夾角均為120°的點，這個點到三頂點的距離和最短.具體方法如下：如圖4，點O為[△ABC]內任意一點，連接[OA，OB，OC]，把[△OCB]繞點C逆時針旋轉[60°]得到[△O'CB']，則[OA+OB+OC=OA+B'O'+OO']，當點[A，O，O'，B']四點共線時，即把線段[OA，OB，OC]轉化為一條線段時，點O到三頂點的距離和最短，這時[∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°].② 當三角形有一內角大于或等于120°時，如圖5，[∠ABC=120°]，[OA+OB+OC=OA+B'O'+OO'>AB+BB']，所以，此鈍角的頂點就是到三頂點距離和最短的點.

如圖6，在[△ABC]中，[AB

垂足分別為點[F，D，E].過點O作平行于AC的直線分別交AB，BC于點Q，P.BM⊥AC[于點M，][交PQ于點K].

[∵S△BPQ=S△BPO+S△BQO∴PQ?BK2=BP?OD2+BQ?OF2

根據[AB

對于問題6需要結合貨物的流通量的比例進行最優化方案設計.由于問題復雜，學生思考會具有很大的挑戰性，暫時無法解決，但它像一顆種子一樣，深深扎根于學生的心田，啟發、引領學生思維的發展，總有一天會綻放美麗的花朵.

初中階段學生主要學習了三角形的內心、外心和重心，對于三角形的垂心以及本文探索的“費馬點”和“到三邊距離之和最短的點”初中階段鮮有涉獵.對于這六個和三角形有關的特殊點，如果從聯系的觀點去思考，可以發現它們殊途同歸，聚合于正三角形，和諧而美妙，形散而神聚，最終統一于正三角形的中心.進一步思考，對于四邊形而言，是否也有類似的特殊點，它們是否也統一于正四邊形的中心呢？五邊形呢？……[n]邊形呢？豐富多彩的問題現象蘊含著的數學規律，永遠是那么的簡潔而和諧.從問題1到問題5，從問題2到問題4，最終拓展到問題6，在情境的渲染引領下，實現思維方式從靜態思考到動態思維的轉變，知識結構從單個知識點到縱橫知識網的深度拓展.通過一個情境引發一串問題，靈動而深邃.帶著問題走入課堂，帶著新問題走出課堂，讓問題引領思維發展，這正是情境設計所要到達的效果.“情境”與“問題”二者猶如土壤與花朵，“情境”如果是肥沃土壤，“問題”就是盛開的花朵，思想與方法就是收獲的累累碩果，過程與經驗就是靜待花開的磨礪，核心素養就是潛移默化的升華.

情境之于知識，猶如湯之于鹽.鹽需溶入湯中，才能被吸收；知識需要溶入情境之中，才能顯示活力和美感.那么，情境在學習中的作用是什么呢？是對興趣的激發、探索的引領、思想的感悟.在精心設計的數學情境氛圍渲染下，激發學生的問題意識，以問題探索引領知識學習.融知識于情境，蘊思想于探索，在積極的情境探索中，實現知識的融匯、能力的提升.

參考文獻：

[1]馬復，章飛.初中數學·新課程教學法[M].長春：東北師范大學出版社，2004：127.

[2]徐鐸厚.平實課堂呈精彩[J].中學數學教學參考（中旬），2014（9）：28-29.