高中數學中數列的學習心得分析

龍彥潮

摘 要：作為高中數學學科體系中最為重要的基礎知識之一，數列與函數、不等式、解析幾何等知識之間存在著密切的聯系，集中考察了高中生的數學思維能力。本文簡要闡釋了數列在高中數學學科體系中的重要性，圍繞常數數列、數列性質、通項公式等角度探討了高中數學中數列的具體學習方法，以供參考。

關鍵詞：高中數學;數列性質;解題方法

通過大量做題訓練，我們發現在解答數列問題時往往難以尋求到準確的切入點，究其根本原因還是在于缺乏對數列概念與性質的明確掌握，未形成綜合性的解題思維模式，難以依照試題選取對應通項公式進行解答。基于此，本文選取了幾種常見的數列解題方法與技巧，借此闡釋應對常見數列問題如何快速有效尋求解決策略，依照此思路逐層抽絲剝繭的完成多種數列問題的有效解決，切實提高解題能力。

一、數列在高中數學學科體系中的重要性

數列既是高中數學中的一個獨立學習模塊，又與函數、不等式等知識之間具有一定的內在關聯。通過針對歷年來全國各地高考數學試卷進行總結分析，可以發現數列知識一直以來都是重點考察問題，其考核比重呈現出逐年增加的趨勢。因此，我們應當在學習數列知識的過程中便注重進行學習方法的歸納，確保能夠總結出一套固有的解題思路用于解決大多數數列問題，再圍繞具體數列問題進行深入分析，判斷解題思路的不適用性并進行補充，以此確保在提高數學解題能力的同時也能夠實現對個人思維邏輯與學習能力的有效提升。

二、高中數學中數列的具體學習方法探討

（一）涉及常數數列的解題技巧。一般來說考察常數存在性的問題是數列知識中較為基礎性的問題，由于常數是一個固定不變數值，因此可以利用特殊項進行常數數值的求解[1]。以下題為例：設等差數列{an}的首項為1，公差不等于0，在其前3n項中將其前n項的和與后2n項的和作比，其比值對于任意n都等于常數，且n∈N+，列出數列的通項公式并求出常數的值。通過分析題干可以設存在公差為d的等差數列{an}，前n項的和為Sn，根據已知條件可以得出■=？姿（？姿為常數），由于Sn=n+■d，可以得出S3n-Sn=2n+n（4n-1）d。設n為分別為1、2，則■=■=？姿，即得出d=2，？姿=■。因此可以得出，對于任意正整數n存在■=■=■=■=？姿成立，通項公式為an=2n-1，常數為■。

從另一個解題思路入手，我們還可以運用函數知識進行常數存在性問題的求解。以下題為例，數列{an}的通項公式為an=（n+1）·0.9n，存在一個正整數N使得aN≥an且對于n恒成立，求N的數值。在解答這道題目時可以依據函數思維進行求解，由已知條件推斷出an-an+1=（n+1）·0.9n-（n+2）·0.9n+1=0.9n·■。接下來進行分情況討論，分別探討n在小于8、大于8、等于8等三種情況下an與an+1之間的大小變化，最終得出當N為8或9時存在aN≥an對于n恒成立。

（二）依據數列性質進行具體解題。通過查閱近年來的高考數學試題資料，可以發現許多數列問題的設置主要考察我們對于數列性質的掌握情況，因此我們在日常做題時應當注重圍繞數列性質進行相關知識的推理，確保能夠實現知識的靈活運用。以下題為例，在等差數列{an}中存在的a3+a7=37，求a2+a4+a6+a8的值。在解答這道問題時，我們便可以從等差與等比數列的學習中進行數列性質知識點的激活，當m+n=p+q時，可以得出am+an=ap+aq。將本題所給條件帶入到式子中，便可以得出3+4=2+5=1+6，則a2+a4+a6+a8=2（a3+a7）=74，最終得出計算結果為74。通過以上題目的解答，可以發現我們對數列性質的掌握情況將直接影響到作答速度與準確度，因此需要著重圍繞數列的基本性質進行歸納總結，確保能夠借助性質提高解題效率與正確率。

（三）利用通項公式完成數列求解。在求數列前n項的和這一類題目時，我們便可以利用通項公式的相關知識點進行問題求解，利用疊乘、疊加與構造法等方法進行通項公式的歸納，最常應用的方法主要有以下三種：

其一是錯位相減法，該方法在等比數列推導等方面具有較強的應用價值，主要考察我們在面對不同問題時對于數列求解方法的靈活運用能力。以下題為例，已知數列{an}的前n項和是Qn，其中a1=1，an+1=2Qn，且n為大于零的整數，求an與Qn。在解答這道題目時，首先我們應當求出首項和公比，依據等比公式推算出a1=1，n=1，則且an=2·3n-2且n≧2，進而利用錯位相減法進行Qn的計算，得出Qn=■+■·3n-2。當n取值為1時，上式成立。由此可以看出，在求等差、等比數列中前n項的和時便可以運用錯位相減法進行解答，并注重在做題的過程中依據具體問題探尋解題思路與著力點，實現問題的順利解決。

其二是分組求和法，該方法對于既非等差數列、也非等比數列的題目解答具有較強的適用性，在解答問題時先將題目中所給數列拆解成不同簡易部分，降低求和的難度，在完成各項分別求和后再將各項合并，從而得出最終的數值[2]。以下題為例，已知數列an=n+2n，求an的前n項的和Sn。在解答這道題目時，可以先設定n的數值為1、2、3等任意正整數，則可推出a1=3，a2=6，a3=10，等，通過以下推導過程可以基本判斷an既非等差數列也非等比數列。接下來再圍繞n+2n這一項進行分析，該項中的n為等差數列，2n屬于等比數列，由此可以分別假設bn=n，dn=2n，則有an=bn+cn，因此等差數列bn的前n項的和為n+■，等比數列dn的前n項的和為■，則an的前n項的和為[n+■]+■。通過解答這道題可以發現，當無法判斷數列是等差數列還是等比數列時，我們可以先將數列進行拆分，靈活運用多種拆分方法將其中可以判斷的部分提取出來進行求和計算，最后再將不同數列的求和結果進行相加，便可以得到最終求和結果。

其三是合并求和法，在解答復雜數列問題時具有較強的適用性。例如已知數列an，其中a1=2，a2=7，a3=5，且an+2+an=an+1，求an的前1999項的和。在解答此類問題時可以先就數列的性質進行分析，假設n的值分別為4、5、6，則a4、a5、a6的值分別為-2、-7、-5，進而得出a6m+1=2，a6m+2=7，S1998=0。由于1999=333×6+1，因此可以得出a1999=2，S1999=2。在解答此類問題時，需要我們尋找到其中存在的特殊項并將其進行合并、消減，進而可以得出最終結果。

總而言之，數列中蘊含著豐富的函數與方程思想，具有較強的綜合特性，對于提高我們的數學思維能力發揮了重要的影響作用。基于此，我們更應當依托數列知識鍛煉自己的思維與記憶能力，站在對比角度探討等差、等比數列與一二次函數、指數函數之間的內在關聯，歸納學習方法，進一步提高解題能力。

參考文獻：

[1]曹金停.探討高中數學數列試題的解題方法與技巧[J].數學學習與研究，2016（15）：103.

[2]張潔.淺談高中數列中的探索問題類型及解題策略[J].數學學習與研究，2018（19）：124.