解析幾何教學中學生問題表征障礙及對策

趙忠平

摘要：本文通過分析解析幾何教學中學生問題表征的主要障礙，提出了排除學生問題表征障礙的對策.

關鍵詞：解析幾何教學；表征能力；培養方法；途徑

“表征”是指信息在大腦中的記載和呈現方式，是一個以已有的知識和經驗為基礎的建構過程.喻平認為：問題表征指個體將外部信息轉化為內部信息，形成問題空間，包括明確問題的給定條件、目標和允許的操作.彭聃齡認為表征問題就是分析和理解問題.數學問題表征就是讀懂題目，“理解”題意，也就是用數學語言對數學問題進行正確的表示.

一、解析幾何教學中學生出現問題表征主要障礙

1 解析幾何概念理解不到位對問題表征能力的影響

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式.正確理解并靈活運用數學概念，是正確表征問題、發展邏輯論證和空間想象能力的前提.正確地理解和形成一個數學概念，必須明確這個數學概念的內涵——對象的“質”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍.“有研究表明，正確的問題表征是解決問題的必要前提，在錯誤的或者不完整的問題空間中進行搜索，不可能求得問題的正確解.”

2 圖形觀察能力不足對問題表征能力影響

解析幾何首先是幾何問題.一味強調解析幾何中的代數運算有時會導致煩瑣的過程，而如果在進行計算的同時綜合考慮幾何因素的話，即在用代數方法研究曲線間關系的同時，充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質，常可得簡捷而優美的解法.圖形觀察能力是數形結合的重要部分，解析幾何解決問題的對象是幾何問題，在方法選擇上應該注意優先考慮幾何方法，其次考慮代數方法.在解析幾何學習中許多同學不善于觀察圖形，無法從圖形中得到表征問題的有效信息，從而導致解題失敗.

3 代數計算和代數表征能力不足對解題能力的影響

對于解析幾何中不少令人興奮不已的運算技巧，應當通過典型問題的分析，讓學生理解代數式和代數運算的運算機理，理解它的每一個公式或定理的幾何意義與代數意義，要了解它成功應當具備的條件，也要了解它的局限性.理解運算技巧的本質，有利于從機理上發現相似，拓寬技巧的應用范圍與深度，產生聯想遷移的效果.

4 代數結果的幾何含義認知不到位對解題能力的影響

在解析幾何問題的解決過程之中，學生習慣于用符號表征來解決問題.學生對于幾種不同形式的表征能力的發展是不均衡的.許多學生對于代數運算結果的幾何意義認知不到位，導致數形無法有效結合，影響問題的進一步表征和解決.

二、在解析幾何教學中排除學生問題表征障礙的對策

1通過“樣例”教學培養學生表征能力

笛卡爾說：“我所解決的每一個題，都將成為一個范例，以用于其它的問題……”，因此，學生正是通過學習范例，才能體會和掌握數學問題的表征方法.教師在解析幾何教學中要選擇典型“樣例”，通過對問題的表征“示范”，讓學生體會問題表征語言的使用，表征形式的選擇，以及多種表征形式之間的轉換.通過“樣例”教學培養學生表征能力，打開學生思維，規范學生數學語言的應用.

2通過“多元表征”教學培養學生表征能力

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，在數學教學中，對同一個概念，從不同角度、利用不同語言都可以進行表征，而且表征的結果的優劣對于解題具有直接的影響，教師在教學中要對不同的表征方法做出示范，引導學生體會不同表征方式對于解題過程的具體影響，從中選擇最優表征方式方法.解析幾何問題的外部表征主要有文字表征、符號表征、圖形表征和操作表征.平時教學時教師要有意識地培養學生用多種方法對問題進行表征的習慣，以促進學生合理地表征問題.

例已知點P為圓x2+y2=1上的動點，點Q為直線x+y-6=0上的動點，求PQ的最大值和最小值.

本題目難度不大，教師要鼓勵學生運用多種表征形式對問題進行表征.

表征1設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x21 + y21 = 1，x2+y2-6=0，則PQ=（x1-x2）2+（y1-y2）2，轉化成二元函數，求函數最值.

表征2設與直線x+y-6=0平行且與圓x2+y2=1相切的直線方程為x+y+λ=0，聯立方程組x2+y2=1x+y+λ=0 消去y得x 的一元二次方程，由Δ=0得λ，再算兩平行線間距離.

表征3設P（cosα，sinα），求P到直線x+y-6=0的距離，d=cosα+sinα-62，轉化為三角函數最值問題.

表征4計算圓心（0，0）到直線x+y-6=0的距離，再加減半徑.

通過對問題表征的比較，讓學生認識到問題表征在問題解決中的重要性.拿到題目不要急于制定解題計劃，而是要審明題意，進而表征問題.教師在教學中，要用不同方式對概念的發生、發展過程進行表征，及時培養學生數學問題的表征能力.

3創建數學交流平臺，促進學生數學問題表征能力培養

數學交流是指在數學教學過程中，讓學生在獨立思考的基礎上，學會表達、傾聽、接受等交流方法，從而達到對知識的深刻理解，達成共識、共享、共進的良性循環.它是學生對思維結果和思維過程的表達，是多種解題表征方法的分享、溝通和理解，更是多種觀點的分析、比較、歸納、批判和整合的互動過程.

（1）教學生學會數學閱讀

數學閱讀是以數學文本為內容獨立開展數學學習的方式，是學生與文本的數學交流，主要是學生在已有知識經驗的基礎上，通過閱讀自主認知數學知識的過程.通過數學閱讀，可以提高學生數學問題表征能力，為良好的數學交流奠定基礎.數學教師在教學中要指導學生數學閱讀的方法，指導學生將重點問題表征和難點問題表征做適當的圈畫和標注，需要將問題表征形式進行轉換的地方，指導學生嘗試用其它表征形式進行重新表征.endprint

（2）教學生學會傾聽

認真聽講是每一個學生必須具備的良好習慣，聽講不僅聽老師講解，還要聽同學的發言.聽老師的講解是學生學會數學問題表征的最好范本，聽同學的回答交流，可以在問題表征中形成對比，提高自己數學問題表征能力.指導學生聽課的同時要學會做課堂筆記，及時記錄教師對例題的分析思路和表征方式，記錄的方式可采用流程圖、關鍵點提示、問題表征轉換等摘要記錄，以自己能理解為標準，不要記得太過詳細.

（3）教學生學會數學表達

數學表達是使用數學語言進行數學問題的交流，有書面表達和口頭表達等.學會數學表達是學好數學最基本的要求.但在平時的教學中，教師更注重書面表達，忽視了學生口頭表達能力的培養，事實上，學生的口頭表達更能快速反映學生對問題的理解，教師也才能及時發現學生在數學問題表征過程中存在的問題，也才能及時點撥、啟發、引導學生修正問題表征結果.為學生提供更多的口頭交流數學知識的機會，有利于學生提高學生口頭表達能力，有利于提高學生心理素質，推進對數學知識的思考，激發學生的反思需要.

4利用題組教學，培養學生對“形同質異問題”和“形異質同問題”的表征能力

題組教學是解題教學的重要組織形式，通過題組教學有利于培養學生積極的思維定勢，鞏固學生數學基礎知識、基本方法和基本技巧，也有利于通過問題條件結論的適當變化，揭示數學問題本質，提煉解題思想方法.

5.通過數學思想方法的教學，指導學生數學問題表征的方向

數學思想方法是數學問題表征的重要方向，也是數學問題表征的重要工具.在問題表征過程中，數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想、轉化與劃歸思想等思想方法可以指引問題表征的方向，以及問題表征之后解決的途徑，一些重要的數學方法如點差法、設而不求法、代入法、參數法、交軌法等在解析幾何中應用廣泛，對于問題的表征具有重要的導向作用.因此，在數學教學中，要及時滲透數學思想方法，形成學生穩定的解題思維能力.

6重視學生元認知能力的開發，指導學生數學問題表征過程的反思

元認知是學習策略的核心.在解析幾何解題訓練中，要求學生掌握“一閱讀，二畫圖，三分析，四列式，五計算，六檢驗”的方法步驟，培養學生解題自我調控能力.解題后要及時總結解題經驗教訓，建立“錯題集”，寫出解題反思，學習他人的好方法，注重解題策略的改進和完善，養成自我認真總結、認真反思的好習慣.

總之，解析幾何教學中教師要及時發現學生問題表征方面的出現的障礙，分析產生問題表征障礙的原因，有針對性的幫助學生突破問題表征障礙，選擇正確合理的問題表征形式，有效培養學生分析解決綜合問題的思維能力.只有充分暴露學生問題表征思維過程，才能有效糾正和防止問題表征錯誤思維過程的再現，才能強化正確的思維路徑，培養學生思維的深刻性和創造性.endprint