這些加速器真奇怪！

羅振國

摘要：回旋加速器考點頻繁呈現在各地高考試題中，然而近幾年的試題所考查的方式和考查的模型已悄然變化，如果我們還是把思維停留在原方式上，在碰到此類新穎題目時，勢必會無從下手，所以我們要與時俱進，認識并熟悉這些加速器，只有在平時把功夫下足，我們才能切實提高能力，做到有效得分.

關鍵詞：加速器；方式；能力

回旋加速器是考查帶電粒子在磁場中運動的重要模型，一直以來在課本上占據著重要地位，也是高考復習中的備考重點.然而最近幾年出現的高考試題卻讓大部分考生有無從下手之感，試題不僅考查的方式在不斷翻新，而且模型也在“喬裝打扮”.正所謂“少見多怪”，我們還是來認識一下這些“奇怪”的加速器吧.

一、不一樣的加速器

1.同步加速器

例1（2014年高考天津卷） 同步加速器在粒子物理研究中有重要的應用，其基本原理簡化為如圖1所示的模型.M、N為兩塊中心開有小孔的平行金屬板.質量為m、電荷量為+q的粒子A（不計重力）從M板小孔飄入板間，初速度可視為零.每當A進入板間，兩板的電勢差變?yōu)閁，粒子得到加速，當A離開N板時，兩板的電荷量均立即變?yōu)榱?兩板外部存在垂直紙面向里的勻強磁場，A在磁場作用下做半徑為R的圓周運動，R遠大于板間距離.A經電場多次加速，動能不斷增大，為使R保持不變，磁場必須相應地變化.不計粒子加速時間及其做圓周運動產生的電磁輻射，不考慮磁場變化對粒子速度的影響及相對論效應.求：

（1）A運動第1周時磁場的磁感應強度B1的大小；

（2）在A運動第n周的時間內電場力做功的平均功率Pn；

（3）若有一個質量也為m、電荷量為+kq（k為大于1的整數）的粒子B（不計重力）與A同時從M板小孔飄入板間，A、B初速度均可視為零，不計兩者間的相互作用，除此之外，其他條件均不變.下圖中虛線、實線分別表示A、B的運動軌跡.在B的軌跡半徑遠大于板間距離的前提下，請指出哪個圖能定性地反映A、B的運動軌跡，并經推導說明理由.

答案（1）1R2mUq（2）qUπRnqU2m（3）A圖，理由見解析

解析（1）設A經電場第1次加速后速度為v1，由動能定理得qU=12mv21-0①

A在磁場中做勻速圓周運動，所受洛倫茲力充當向心力qv1B1=mv21R②

由①②得B1=1R2mUq③

（2）設A經n次加速后的速度為vn，由動能定理得nqU=12mv2n-0④

設A做第n次圓周運動的周期為Tn，有

Tn=2πRvn⑤

設在A運動第n周的時間內電場力做功為

Wn，則Wn=qU⑥

在該段時間內電場力做功的平均功率為

Pn=WnTn⑦

由④⑤⑥⑦解得Pn=qUπRnqU2m⑧

（3）A圖能定性地反映A、B運動的軌跡.

A經過n次加速后，設其對應的磁感應強度為Bn，A、B的周期分別為Tn、T′，綜合②、⑤式并分別應用A、B數據得Tn=2πmqBn，T′=2πmkqBn=Tnk

由上可知，Tn是T′的k倍，所以A每繞行1周，B就繞行k周.由于電場只在A通過時存在，故B僅在與A同時進入電場時才被加速.

經n次加速后，A、B的速度分別為vn和v′n，考慮到④式

vn=2nqUm，v′n=2nkqUm=kvn

由題設條件并考慮到⑤式，對A有Tnvn=2πR

設B的軌跡半徑為R′，有T′v′n=2πR′

比較上述兩式得R′=Rk

上式表明，運動過程中B的軌跡半徑始終不變.

由以上分析可知，兩粒子運動的軌跡如圖A所示.

解題體會課本上常見的加速器的磁場是恒定的，粒子旋轉半徑越來越大，而本題中的磁場是不斷增大的，粒子軌跡半徑不變，即所謂同步加速器.命題人另辟蹊徑，將常見模型改頭換面，側重能力考查.

2. 直線加速器

例2（2016年高考四川卷第9題）中國科學院2015年10月宣布中國將在2020年開始建造世界上最大的粒子加速器.加速器是人類揭示物質本源的關鍵設備，在放射治療、食品安全、材料科學等方面有廣泛應用.

如圖2所示，某直線加速器由沿軸線分布的一系列金屬圓管（漂移管）組成，相鄰漂移管分別接在高頻脈沖電源的兩極.質子從K點沿軸線進入加速器并依次向右穿過各漂移管，在漂移管內做勻速直線運動，在漂移管間被電場加速，加速電壓視為不變.設質子進入漂移管B時速度為8×106m/s，進入漂移管E時速度為1×107 m/s，電源頻率為1×107Hz，漂移管間縫隙很小，質子在每個管內運動時間視為電源周期的1/2.質子的荷質比取1×108C/kg.求：

（1）漂移管B的長度；

（2）相鄰漂移管間的加速電壓.

答案（1）04 m（2）6×104V

解析（1）設高頻脈沖電源的頻率為f，周期為T；質子在每個漂移管中運動的時間為t；質子進入漂移管B時速度為vB；漂移管B的長度為LB.則

T=1f①

t=12T②

LB=vBt③

聯立①②③式并代入數據得LB=04m

（2）設質子進入漂移管E的速度為vE，相鄰漂移管間的加速電壓為U，電場對質子所做的功為W，質子從漂移管B運動到E電場做功W′，質子的電荷量為q、質量為m，則

W=qU④

W′=3W⑤

W′=12mv2E-12mv2B⑥

聯立④⑤⑥式并代入數據得U=6×104V⑦

解題體會直線加速器模型是最早出現、最直觀的加速器，原理比較容易理解，但是隨著速度增大，漂移管越來越長，存在著占據較大空間的缺點，從而被回旋加速器所替代.而2016年高考四川卷重新出現了這個經典模型，對考生來說也是不小的挑戰(zhàn).endprint

3. 扇形聚焦回旋加速器

例3（2016年高考浙江卷第25題）為了進一步提高回旋加速器的能量，科學家建造了“扇形聚焦回旋加速器”.在扇形聚焦過程中，離子能以不變的速率在閉合平衡軌道上周期性旋轉.扇形聚焦磁場分布的簡化圖如圖3所示，圓心為O的圓形區(qū)域等分成六個扇形區(qū)域，其中三個為峰區(qū)，三個為谷區(qū)，峰區(qū)和谷區(qū)相間分布.峰區(qū)內存在方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，谷區(qū)內沒有磁場.質量為m，電荷量為q的正離子，以不變的速率v旋轉，其閉合平衡軌道如圖中虛線所示.

（1）求閉合平衡軌道在峰區(qū)內圓弧的半徑r，并判斷離子旋轉的方向是順時針還是逆時針；

（2）求軌道在一個峰區(qū)內圓弧的圓心角θ，及離子繞閉合平衡軌道旋轉的周期T；

（3）在谷區(qū)也施加垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B′，新的閉合平衡軌道在一個峰區(qū)內的圓心角θ變?yōu)?0°，求B′和B的關系.已知：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cosα=1-2sin2a2

答案（1）r=mvqB；旋轉方向為逆時針方向

（2）θ=2π3；T=（2π+33）mqB（3）B′=3-12B

解析（1）峰區(qū)內圓弧半徑r=mvqB，旋轉方向為逆時針；

（2）如圖4所示，由對稱性，峰區(qū)內圓弧圓心角

θ=2π3，

每個圓弧長度

l=2πr3=2πmv3qB，

每段直線長度

L=2rcosπ6=3r=3mv3qB，

周期T=3（L+l）v，解得T=（2π+33）mqB

（3）如圖5所示，谷區(qū)內圓心角θ′=30°

谷區(qū)內的軌道圓弧半徑

r′=mvqB′，

由幾何關系rsinθ2=r′sinθ′2，

由三角關系sin30°2=sin15°=6-24，

解得B′=3-12B

解題體會本題以“扇形聚焦回旋加速器”為情景設置考題，主要考查帶電粒子在磁場中的運動，側重幾何知識的應用，其難度不大.考生需細心畫圖，找出幾何關系.

二、不一般的考查方式

1.從加速器引出粒子的兩種方式

例4（2015高考浙江卷第25題）使用回旋加速器的實驗需要把離子束從加速器中引出，離子束引出的方法有磁屏蔽通道法和靜電偏轉法等.質量為m，速度為v的離子在回旋加速器內旋轉，旋轉軌道是半徑為r的圓，圓心在O點，軌道在垂直紙面向外的勻強磁場中，磁感應強度為B.為引出離子束，使用磁屏蔽通道法設計引出器.引出器原理如圖6所示，一對圓弧形金屬板組成弧形引出通道，通道的圓心位于O′點（O′點圖中未畫出）.引出離子時，令引出通道內磁場的磁感應強度降低，從而使離子從P點進入通道，沿通道中心線從Q點射出.已知OQ長度為L，OQ與OP的夾角為θ.

（1）求離子的電荷量q并判斷其正負；

（2）離子從P點進入，Q點射出，通道內勻強磁場的磁感應強度應降為B′，求B′；

（3）換用靜電偏轉法引出離子束，維持通道內的原有磁感應強度B不變，在內外金屬板間加直流電壓，兩板間產生徑向電場，忽略邊緣效應.為使離子仍從P點進入，Q點射出，求通道內引出軌跡處電場強度E的方向和大小.

答案（1）q=mvBr，正電荷

（2）mv（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rRcosθ）

（3）E=Bv-mv2（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rRcosθ）

解析（1）離子做圓周運動Bqv=mv2r①

解得q=mvBr，正電荷②

（2）如圖7所示，O′Q=R，OQ=L，O′O=R-r

引出軌跡為圓弧 B′qv=mv2R③

根據幾何關系得：R=r2+L2-2rLcosθ2r-2Lcosθ

解得B′=mv（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rLcosθ）

（3）電場強度方向沿徑向向外；引出軌跡為圓弧，Bqv-Eq=mv2R

解得E=Bv-mv2（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rLcosθ）

解題體會考生平時練習都在關注粒子在磁場中回旋運動與電場中加速，很少會關注粒子從加速器中引出方法.本題以磁屏蔽通道法和靜電偏轉法引出離子束的考查方式出現，著實會讓考生大吃一驚，另外由余弦定理求半徑即考查學生應用數學處理物理問題的能力.

2. 盒中射靶

例5（2015高考重慶卷第9題）圖8為某種離子加速器的設計方案.兩個半圓形金屬盒內存在相同的垂直于紙面向外的勻強磁場，其中MN和M′N′是間距為h的兩平行極板，其上分別有正對的兩個小孔O和O′，O′N′=ON=d，P為靶點，O′P=kd（k為大于1的整數）.極板間存在方向向上的勻強電場，兩極板間電壓為U.質量為m、帶電量為q的正離子從O點由靜止開始加速，經O′進入磁場區(qū)域.當離子打到極板上O′N′區(qū)域（含N′點）或外殼上時將會被吸收.兩虛線之間的區(qū)域無電場和磁場存在，離子可勻速穿過.忽略相對論效應和離子所受的重力.求：

（1）離子經過電場僅加速一次后能打到P點所需的磁感應強度大小；

（2）能使離子打到P點的磁感應強度的所有可能值；

（3）打到P點的能量最大的離子在磁場中運動的時間和在電場中運動的時間.

答案（1）B=22qUmqkd

（2）B=22nqUmqkd，（n=1、2、3…k2-1）

（3）t磁=（2k2-3）πmkd22qUm（k2-1），t電=h2（k2-1）mqUendprint

解析（1）離子經電場加速，由動能定理qU=12mv2，可得v=2qUm

磁場中做勻速圓周運動，qvB=mv2r

剛好打在P點，軌跡為半圓，由幾何關系可知

r=kd2

聯立解得B=22qUmqkd

（2）若離子經過一次加速后速度較小，圓周運動半徑較小，不能直接打在P點，而做圓周運動到達N′右端，再勻速直線到下端磁場，將回到O點重新加速，直到打在P點.設共加速了n次，有：nqU=12mv2n

qvnB=mv2nrn，且rn=kd2，解得B=22nqUmqkd

要求離子第一次加速后不能打在板上，有r1>d2，且qU=12mv21，qv1B=mv21r1

解得n

故加速次數n為正整數最大取n=k2-1

即B=22nqUmqkd（n=1、2、3…k2-1）

（3）加速次數最多的離子速度最大，取n=k2-1，離子在磁場中做n-1個完整的勻速圓周運動和半個圓周打到P點.

由勻速圓周運動T=2πrv=2πmqB

t磁=（n-1）T+T2=（2k2-3）πmkd22qUm（k2-1）

電場中一共加速n次，可等效成連續(xù)的勻加速直線運動.

由運動學公式（k2-1）h=12at2電，a=qUmh，可得t電=h2（k2-1）mqU

解題體會本題將回旋加速器與質譜儀相結合，其對數學能力要求較高，多次回旋的可能值與臨界條件的不等式的應用容易把學生搞暈，命題人在這個地方設置了較大的障礙，考生不容易得分.

3. 加速器的加速效率問題

例6（2016年高考江蘇卷第15題）回旋加速器的工作原理如圖9所示，置于真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間狹縫的間距為d，磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直.被加速粒子的質量為m，電荷量為+q.加在狹縫間的交變電壓如圖10所示，電壓值的大小為U0，周期T=2πmqB.一束該粒子在t=0 時間內從A處均勻地飄入狹縫，其初速度視為零.現考慮粒子在狹縫中的運動時間，假設能夠出射的粒子每次經過狹縫均做加速運動，不考慮粒子間的相互作用.求：

（1）出射粒子的動能Ek；

（2）粒子從飄入狹縫至動能達到Ek所需的總時間t總；

（3）要使飄入狹縫的粒子中有超過99%能射出，d應滿足的條件.

答案（1）Ek=q2B2R22m

（2）t0=πBR2+2BRd2U0-πmqB

（3）d<πmU0100qB2R

解析（1）由qvB=mv2R，Ek=12mv2，解得Ek=q2B2R22m

（2）粒子被加速n次達到動能Ek，則Ek=nqU0，粒子在狹縫間做勻加速運動，設n次經過狹縫的總時間為Δt.

由加速度a=qU0md，勻加速直線運動：nd=12aΔt2，t0=（n-1）T2+Δt，

解得t0=πBR2+2BRd2U0-πmqB

（3）只有在0～T2-Δt時間內飄入的粒子才能每次均被加速，

故所占的比例為η=T2-ΔtT2，

由η>99%，解得d<πmU0100qB2R

解題體會本題考查的內容看似常規(guī)，但是難度較大，突破口在于電場中加速時間的等效處理與磁場中環(huán)繞次數的換算；其次要理解粒子的飄入時間，只有在0～T2-Δt時間內飄入的粒子才能每次均被加速，從而提高加速的效率.

可見，同樣一個加速模型，命題人卻有各種各樣的不同考查方式，所以我們不能固步自封，要關注新高考，與時俱進.善于抓住問題的本質，掌握帶電粒子在電磁場中運動的特征，養(yǎng)成嚴密的邏輯思維和解題方式，在不同的情景中打開思路，真正提升自己的應試能力.

參考文獻：

[1]張平.從三道高考題看回旋加速器的復習.考試研究，2011（32）： 8-9.

[2] 周瑋.高考中的回旋加速器問題探析.高中數理化，2012（04）：37-40.