三點共線的帕普斯定理及應用探究

羅珊珊，趙臨龍

摘 要：文章對三點共線的帕普斯定理及其應用進行研究，旨在提高學生對定理的深入理解和認知，并學會靈活運用，進而培養學生的邏輯推理能力和思維能力。在教學中，教師要深入鉆研和理解定理的實質，開展好定理教學活動。

關鍵詞：三點共線；帕普斯定理；應用；思維能力

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2018）01-0086-01

帕普斯是古希臘數學家，有大量著作，但只有《數學匯編》保存下來。《數學匯編》對數學史具有重大的意義，它對前輩學者的著作進行了系統整理，并發展了前輩的某些數學思想，保存了很多古代珍貴的數學資料。本文對三點共線的帕普斯定理及其應用進行研究，旨在提高學生對定理的深入理解和認知，并學會靈活運用，從而培養學生的邏輯推理能力和思維能力。

一、帕普斯定理

【帕普斯定理】如圖1：直線l上依次有點A，B，C，直線l′上依次有點A′，B′，C′，設AC′×A′C=M，AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，則M，N，L共線。

證明：如圖1：設A′B×B′C=P，PA′×A′C=Q，PB′×AC′ =R，則在△PQR中，由Menelaus定理，得：A′C為截線， ■■■=1，B′A為截線， ■■■=1，C′B為截線，■■■=1，則■■■ ■■■■■■=1（1）。此時，在△PQR中，AC為截線，■■■=1，A′C′為截線，■■■=1則■■■■■■=1 （2）。由（1）÷（2），得：■■■=1，即M，N，L共線。現在，考慮直線MNL與直線l、l′的關系。如圖2：設AA′、BB′、CC′共于點O，△AB′C與△A′BC′的對應頂點連線交于點O，由Desargues定理，得對應邊交點：AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，與l、l′的交點共線。

【帕普斯特殊定理1】如圖2：直線l上依次有點A，B，C，直線l′上依次有點A′，B′，C′，設AC′×A′C=M，AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，且AA′、BB′、CC′共于點O，則M，N，L共線于l、l′的交點。

【帕普斯特殊定理2】如圖2：直線l上依次有點A，B，C，直線l′上依次有點A′，B′，C′，設AC′×A′C=M，AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，且M，N，L共線于l、l′的交點，則AA′、BB′、CC′共點于點O。

特例，AA′、BB′、CC′平行的必要充分條件是：直線MNL平分線段AA′、BB′、CC′。因為，梯形的對角線交點、兩腰延長線交點與兩底中點四點共線。此時，在梯形AA′B′B、B′BCC′中，直線MNL平分線段AA′、BB′、CC′。

二、帕普斯定理應用

例1：四邊形ABCD被EF分成兩個四邊形ABFE和EFCD，求證三個四邊形ABCD，ABFE，EF的對角線交點P，Q，R三點共線。證明： 因為A，E，D是一直線上的三個不同點，B，F，C是另一直線上的三個不同點，則由帕普斯定理，可得AC×BD=P，AF×BE=Q，EC×DF=R三點共線。

例2：四邊形ABCD，其中AB×CD=X，AC×BD=Y，BC×AD=Z，設XZ分別交AC，BD于E，F，求證XY，BE，CF共點。證明： 因為B，Y，D是一直線上的三個不同點，X，E，Z是另一直線上的三個不同點，且XB、EY、ZD共點于點A，則由帕普斯特殊定理1，可得交點：XY×BE=O，BZ×XD=C，BD×XZ=F三點共線，即XY，BE，CF共點。

例3：在四邊形ABCD中，設AB×CD=E，AC×BD=F，連接EF，在其上任取一點M，求證AB×CM=P，BM×CD=Q，AD×BC=R三點共線。證明： 因為P，B，A是一直線上的三個不同點，Q，C，D是另一直線上的三個不同點，且交點：PC×BQ=M，BD×AC=F，AP×QD=E三點共線，則由帕普斯特殊定理2，可得PQ、BC、AD共點于點R，即P，Q，R共線。

例4：已知直線a、b以及a、b外一點P，求作通過點P和a、b交點的直線（a、b直線所在區域有障礙物，交點無法求得）。作法： 任作兩直線l、l′，l分別交a、b于點A和C，l′分別交a、b于點C′和A′，連接A′P交直線l于點B，連接AP交直線l′于點B′，連接BC′×B′C交于Q，則直線PQ為所求直線。證明：因為A，B，C是一直線l上的三個不同點，A′，B′，C′是另一直線上l′的三個不同點.則由帕普斯定理，可得A′B×B′C=P，BC′×B′C=Q，AC′×A′C =a×b共線，即PQ通過a、b的交點。

三、帕普斯定理待研究問題

在帕普斯定理證明中，取△AA′N和△CC′L，若證明兩三角形的對應頂點連線AC′，A′C，NL交于一點，則由Desargues定理，應該證明兩三角形對應邊的交點：AA′×C′C，A′N×CL，NA×LC′共線，但至今未給出具體證明。

參考文獻：

[1]周振榮，趙臨龍.高等幾何[M].武漢：華中師范大學出版社，2013.

[3]于曉明.利用高等幾何知識解決中學幾何點共線和線共點問題探析[J].齊魯師范學院學報，2012（05）.endprint